Question

已知：二次函数的表达式为y=-

1

2

x2+x+

3

2

．
（1）写出这个函数图象的对称轴和顶点坐标；并画出图象．
（2）求图象与x轴的交点坐标；
（3）观察图象，指出使函数值y＞

3

2

时自变量x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）将二次函数写成顶点式y=-

1

2

x²+x+

3

2

=-

1

2

（x-1）²+2
（2）图象与x轴的交点的横坐标为此函数值为0时的一元二次方程的解；
将二次函数写成式y=-

1

2

x²+x+

3

2

=-=-

1

2

（x+1）（x-3），根据顶点式可确定对称轴及顶点坐标，根据一般式可确定抛物线与y轴的交点，根据交点式可确定抛物线与x轴的交点；
（3）根据图象可确定y＞

3

2

时，x的取值范围．

解答：解：（1）∵y=-

1

2

x²+x+

3

2

=-

1

2

（x²-2x）+

3

2

=-

1

2

（x-1）²+2，
∴抛物线的顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x=1，
图象如下：


（2）当y=0时，解方程-

1

2

x²+x+

3

2

=0，
解得x=3或-1，
所以图象与x轴交点为（-1，0），（3，0）；

（3）∵抛物线与y轴的交点为（0，

3

2

），即x=0时，y=

3

2

；
又∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴x=2时，y=

3

2

；
由图象可知，函数值y＞

3

2

时，x的取值范围是0＜x＜2．

点评：本题考查了抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标与抛物线解析式的关系，抛物线的顶点式：y=a（x-h）²+k，顶点坐标为（h，k），对称轴x=h．同时考查了用抛物线与x轴的交点坐标，判断函数值在某一范围时自变量的取值范围的方法．