Question

【题目】（满分14分）已知，四边形ABCD是正方形，点F是边AB、BC上一动点，DE⊥DF，且DE=DF，M为EF的中点．

当点F在边AB上时（如图）．

求证：点E在BC直线上；

若AD=a，AF=b，并满足.

求a，b的值及MC的长；

当点F在BC上时（如图），求的值．

　(图)　　　　　　　　　　　　　　(图)

Answer 1

【答案】(1)①见解析，②；（2）

【解析】试题分析：（1）①连接CE，证明△ADF≌△CDE，得到∠DCE=∠DAF=90°即可；②作FK∥MC，证明CM=FK，求出FK=BF即可；（2）过点E作CD的平行线分别交AD、BC的延长线于K、Q，EN∥MC，根据平行线等分线段定理即可解答．

试题解析：

(1)①如图①，连接CE，

∵∠ADC=90°，DE⊥DF，

∴∠ADF=∠CDE，

在△ADF和△CDE中，

，

∴△ADF≌△CDE，

∴∠DCE=∠DAF=90°，

∴点E在直线BC上；

②如图①,作FK∥MC，∵M为EF的中点，

∴CM=FK，

∵∠DMB=∠DCB=90°，

∴D、M、C.B四点共圆，

∴∠MCD=∠MBD=45°，

∴∠BKF=45°，

∵BF=2,∴FK=，

∴CM=FK=；

(2)过点E作CD的平行线分别交AD、BC的延长线于K、G,EN∥MC,

∵M为EF的中点，

∴CM=NE，FC=CN，

∴NG=EG=BF，

= ==.