Question

如图，在平面直角坐标系中，⊙D与坐标轴分别相交于A（-，0），B（，0），C（0，3）三点．
（1）求⊙D的半径；
（2）E为优弧AB一动点（不与A，B，C三点重合），EN⊥x轴于点N，M为半径DE的中点，连接MN，求证：∠DMN=3∠MNE；
（3）在（2）的条件下，当∠DMN=45°时，求E点的坐标．

Answer 1

（1）解：由于OA=OB=，且OD⊥AB，根据垂径定理知圆心D必在y轴上；
连接AD，设⊙D的半径为R，则AD=R，OD=3-R；
Rt△ADO中，根据垂径定理得：
AD²=AO²+OD²，即R²=3+（3-R）²，解得R=2；
即⊙D的半径为2；

（2）证明：过D作DH⊥EN于H，连接MH；
易知四边形DHNO是矩形，则HN=OD=1；
Rt△DHE中，MH是斜边DE的中线，
∴DM=ME=MH=DE=1；
∴△MEH、△MHN是等腰三角形，即∠MEH=∠MHE=2∠MNE；
∵∠DMN=∠E+∠MNE，故∠DMN=3∠MNE；

（3）解：∵∠DMN=45°，
∴∠MNE=15°，∠E=30°；
Rt△DHE中，DE=2，∠E=30°；
∴DH=1，EH=；
∴EN=EH+HN=+1；
故E（1，+1），
根据轴对称性可知，点E在第二象限的对称点（-1，+1）也可以．
故点E的坐标为：（1，+1）或（-1，+1）．
分析：（1）由于A、B关于y轴对称，由垂径定理知圆心D必在y轴上，可连接AD，在Rt△OAD中，用半径表示出OD、AD的长，然后利用勾股定理求半径的长．
（2）过D作EN的垂线，设垂足为H，易证得四边形DHNO是矩形，则NH=OD=1；连接MH，在Rt△EDH中，MH是斜边DE上的中线，则MH=ME=DM=1，由此可知∠E=∠MHE=2∠B；由于∠DMN是△MEB的外角，根据三角形外角的性质即可得出本题所求的结论；
（3）根据（2）的结论，易求得∠E=30°，在Rt△DEH中，根据⊙D的半径及∠E的度数，即可求出DH、EH的长，也就得出了E点的坐标，再根据对称性即可求出另一种情况的点E的坐标．
点评：此题考查了垂径定理、直角三角形的性质、三角形的外角性质、等边对等角等知识，（2）是本题的一个难点，能够正确的构建出与所求相关的两个等腰三角形是解题的关键．