Question

（2013•松江区二模）已知抛物线y=-x²+bx+c经过点A（0，1），B （4，3）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）求tan∠ABO的值；
（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N，交抛物线于点M，若四边形MNCB为平行四边形，求点M的坐标．

Answer 1

分析：（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式求出b、c，即可得解；
（2）过点B作BC⊥x轴于C，过点A作AD⊥OB于D，根据点A、B的坐标求出OA、OC、BC的长，再利用勾股定理列式求出OB，然后求出△AOD和△OBC相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出AD、OD然后求出BD，再根据锐角的正切值等于对边比邻边列式计算即可得解；
（3）利用待定系数法求出直线AB的解析式，然后根据直线与抛物线的解析式设出点M、N得到坐标并表示出MN，再根据平行四边形对边相等列式方程求解即可．

解答：解：（1）∵抛物线y=-x²+bx+c经过点A（0，1），B （4，3），
∴

c=1 -16+4b+c=3

，
解得

b= 9 2 c=1

，
所以，抛物线的函数解析式为y=-x²+

9

2

x+1；

（2）如图，过点B作BC⊥x轴于C，过点A作AD⊥OB于D，
∵A（0，1），B （4，3），
∴OA=1，OC=4，BC=3，
根据勾股定理，OB=

OC2+BC2

=

42+32

=5，
∵∠OAD+∠AOD=90°，∠AOD+∠BOC=90°，
∴∠OAD=∠BOC，
又∵∠ADO=∠OCB=90°，
∴△AOD∽△OBC，
∴

OA

OB

=

OD

BC

=

AD

OC

，
即

1

5

=

OD

3

=

AD

4

，
解得OD=

3

5

，AD=

4

5

，
∴BD=OB-OD=5-

3

5

=

22

5

，
∴tan∠ABO=

AD

BD

=

4 5

22 5

=

2

11

；

（3）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0，k、b是常数），
则

b=1 4k+b=3

，
解得

k= 1 2 b=1

，
所以，直线AB的解析式为y=

1

2

x+1，
设点M（a，-a²+

9

2

a+1），N（a，

1

2

a+1），
则MN=-a²+

9

2

a+1-

1

2

a-1=-a²+4a，
∵四边形MNCB为平行四边形，
∴MN=BC，
∴-a²+4a=3，
整理得，a²-4a+3=0，
解得a₁=1，a₂=3，
∵MN在抛物线对称轴的左侧，抛物线的对称轴为直线x=-

9 2

2×(-1)

=

9

4

，
∴a=1，
∴-1²+

9

2

×1+1=

9

2

，
∴点M的坐标为（1，

9

2

）．

点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，勾股定理的应用，相似三角形的判定与 性质，锐角三角函数，平行四边形的对边平行且相等的性质，综合性较强，但难度不大，（2）作出辅助线构造出直角三角形是解题的关键，（3）表示出MN的长是解题的关键．