Question

14．如图，在等边三角形ABC中，点E、D分别从A、C出发，沿AC，CB方向以相同的速度在线段AC，CB上运动，AD、BE相交于F点．
（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）当E、D运动时，∠BFD大小是否发生改变？若不变求其大小，若改变求其变化范围．

Answer 1

分析 （1）由等边三角形ABC可得出的条件是：AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°，可根据SAS证明△ABE≌△CAD；
（2）E、D运动时，∠BFD大小不发生改变，根据△ABE≌△CAD，得到∠ABE=∠CAD，利用外角的性质得到∠AFE=∠ABE+∠BAF，再根据对顶角相等，即可解答．

解答 解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AC=AB，∠C=∠BAE=60°，
∵点E、D分别从A、C出发，沿AC，CB方向以相同的速度在线段AC，CB上运动，
∴BD=CE，
∴AE=CD，
在△ABE和△CAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAE=∠C}\\{AE=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CAD；
（2）当E、D运动时，∠BFD大小不发生改变，
∵△ABE≌△CAD，
∴∠ABE=∠CAD，
∵∠AFE=∠ABE+∠BAF，
∴∠AFE=∠CAD+∠BAF=∠BAC=60°，
∵∠AFE=∠BFD（对顶角相等），
∴∠BFD=60°．

点评 本题主要考查了等边三角形的性质，以及全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是证明△ABE≌△CAD．