Question

已知△ABC中，AB=10，AC=6，BC=8，若三条内角平分线交于点O，OG⊥AB于G，则AG的长度为________．

Answer 1

4
分析：利用勾股定理逆定理判定△ABC是以∠C为直角的三角形，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O到三边的距离相等，然后利用△ABC的面积列式求出OG的长度，过点O作OE⊥AC，OF⊥BC，判定四边形CEOF是正方形，求出CE，再求出AE，然后根据对称性可得AG=AE，从而得解．
解答：解：∵6²+8²=100=10²，
∴△ABC是直角三角形，∠C=90°，
∵三条内角平分线交于点O，OG⊥AB，
∴S_△ABC=（AC+BC+AB）•OG=AC•BC，
∴（6+8+10）•OG=6×8，
解得OG=2，
过点O作OE⊥AC，OF⊥BC，
则四边形CEOF是正方形，
∴CE=OE=OG=2，
∴AG=AE=AC-CE=6-2=4．
故答案为：4．
点评：本题考查了角平分线的性质，勾股定理逆定理的应用，三角形的内心的性质，利用三角形的面积求出OG是解题的关键，作出图形更形象直观．