题目内容
阅读下面的情景对话，然后解答问题：
（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题？
（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，求a：b：c；
（3）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（不与点A、B重合），D是半圆
的中点，C、D在直径AB的两侧，若在⊙O内存在点E，使AE=AD，CB=CE．①求证：△ACE是奇异三角形；
②当△ACE是直角三角形时，求∠AOC的度数．
【答案】分析：（1）根据“奇异三角形”的定义与等边三角形的性质，求证即可；
（2）根据勾股定理与奇异三角形的性质，可得a2+b2=c2与a2+c2=2b2，用a表示出b与c，即可求得答案；
（3）①AB是⊙O的直径，即可求得∠ACB=∠ADB=90°，然后利用勾股定理与圆的性质即可证得；
②利用（2）中的结论，分别从AC：AE：CE=1：
：
与AC：AE：CE=
：
：1去分析，即可求得结果．
解答：
解：（1）设等边三角形的一边为a，则a2+a2=2a2，
∴符合奇异三角形”的定义．
∴是真命题；
（2）∵∠C=90°，
则a2+b2=c2①，
∵Rt△ABC是奇异三角形，且b＞a，
∴a2+c2=2b2②，
由①②得：b=
a，c=
a，
∴a：b：c=1：
：
；
（3）∵①AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
在Rt△ACB中，AC2+BC2=AB2，
在Rt△ADB中，AD2+BD2=AB2，
∵点D是半圆
的中点，
∴
=
，
∴AD=BD，
∴AB2=AD2+BD2=2AD2，
∴AC2+CB2=2AD2，
又∵CB=CE，AE=AD，
∴AC2+CE2=2AE2，
∴△ACE是奇异三角形；
②由①可得△ACE是奇异三角形，
∴AC2+CE2=2AE2，
当△ACE是直角三角形时，
由（2）得：AC：AE：CE=1：
：
或AC：AE：CE=
：
：1，
当AC：AE：CE=1：
：
时，AC：CE=1：
，即AC：CB=1：
，
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC=30°，
∴∠AOC=2∠ABC=60°；
当AC：AE：CE=
：
：1时，AC：CE=
：1，即AC：CB=
：1，
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC=60°，
∴∠AOC=2∠ABC=120°．
∴∠AOC的度数为60°或120°．
点评：此题考查了新定义的知识，勾股定理以及圆的性质，三角函数等知识．解题的关键是理解题意，抓住数形结合思想的应用．
（2）根据勾股定理与奇异三角形的性质，可得a2+b2=c2与a2+c2=2b2，用a表示出b与c，即可求得答案；
（3）①AB是⊙O的直径，即可求得∠ACB=∠ADB=90°，然后利用勾股定理与圆的性质即可证得；
②利用（2）中的结论，分别从AC：AE：CE=1：
：与AC：AE：CE=：：1去分析，即可求得结果．解答：
解：（1）设等边三角形的一边为a，则a2+a2=2a2，∴符合奇异三角形”的定义．
∴是真命题；
（2）∵∠C=90°，
则a2+b2=c2①，
∵Rt△ABC是奇异三角形，且b＞a，
∴a2+c2=2b2②，
由①②得：b=
a，c=a，∴a：b：c=1：
：；（3）∵①AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
在Rt△ACB中，AC2+BC2=AB2，
在Rt△ADB中，AD2+BD2=AB2，
∵点D是半圆
的中点，∴
=，∴AD=BD，
∴AB2=AD2+BD2=2AD2，
∴AC2+CB2=2AD2，
又∵CB=CE，AE=AD，
∴AC2+CE2=2AE2，
∴△ACE是奇异三角形；
②由①可得△ACE是奇异三角形，
∴AC2+CE2=2AE2，
当△ACE是直角三角形时，
由（2）得：AC：AE：CE=1：
：或AC：AE：CE=：：1，当AC：AE：CE=1：
：时，AC：CE=1：，即AC：CB=1：，∵∠ACB=90°，
∴∠ABC=30°，
∴∠AOC=2∠ABC=60°；
当AC：AE：CE=
：：1时，AC：CE=：1，即AC：CB=：1，∵∠ACB=90°，
∴∠ABC=60°，
∴∠AOC=2∠ABC=120°．
∴∠AOC的度数为60°或120°．
点评：此题考查了新定义的知识，勾股定理以及圆的性质，三角函数等知识．解题的关键是理解题意，抓住数形结合思想的应用．
练习册系列答案
阅读快车系列答案
相关题目
阅读下面的情景对话，然后解答问题：
，AC=
，BC=
，且
，若Rt△ABC是奇异三角形，求
； 