Question

已知：如图，在△ABC中，AB=BC，D是AC中点，BE平分∠ABD交AC于点E，点O是AB上一点，⊙O过B、E两点，交BD于点G，交AB于点F．
（1）求证：AC与⊙O相切；
（2）当BD=2，sinC=

1

2

时，求⊙O的半径．

Answer 1

分析：连接OE，通过证明OE∥BD证明OE⊥AC，得出AC与⊙O相切；通过证明∠C=∠A，解直角三角形AOE求OE的长，即半径的长度．

解答：（1）证明：如图，连接OE．
∵AB=BC且D是BC中点
∴BD⊥AC
∵BE平分∠ABD
∴∠ABE=∠DBE
∵OB=OE
∴∠OBE=∠OEB
∴∠OEB=∠DBE
∴OE∥BD
∴OE⊥AC
∴AC与⊙O相切．

（2）解：∵BD=2，sinC=

1

2

，BD⊥AC
∴BC=4
∴AB=4
设⊙O 的半径为r，则AO=4-r
∵AB=BC
∴∠C=∠A
∴sinA=sinC=

1

2

．
∵AC与⊙O相切于点E，
∴OE⊥AC
∴sinA=

r

4-r

=

1

2

∴r=

4

3

．

点评：考查了切线的判定、圆的性质以及解直角三角形的简单应用．