Question

已知，如图，在平面直角坐标系中，以BC为直径的⊙M交x轴正半轴于点A、B，交y轴正半轴于点E、F，过点C作CD垂直y轴，垂足为点D，连接AM并延长交⊙M于点P，连接PE。
（1）求证：∠FAO=∠EAM；
（2）若二次函数y=﹣x²+px+q的图象经过点B、C、E，且以C为顶点，当点B的横坐标等于2时，四边形OECB的面积是，求这个二次函数的解析式。

Answer 1

解：（1）如图，∵四边形APEF是⊙M的内接四边形 ∴∠APE=∠AFO ∵AP为⊙M的直径 ∴∠EAM=90°﹣∠APE ∵∠FAO=90°﹣∠AFO ∴∠EAM=∠FAO； （2）解：因为二次函数y=﹣x2+px+q的图象的顶点为C点， 所以得C点的坐标， ∵图象过E点， ∴得E点的坐标为（0，q） 连接AC，则AC⊥OB， ∵CD⊥y轴，AO⊥OD， ∴四边形OACD为矩形 ∴DC=OA， 连接OC，S△OCB=OB·AC=×2× S△OCE=OE·CD=q= ∴ 即p2+pq+4q=11 ∵点B（2，0）在抛物线y=﹣x2+px+q上 ∴2p+q﹣4=0，联立 解这个方程组，得（不合题意，舍去） ∴过B、C、E三点的二次函数的解析式为y=﹣x2+x+2。