题目内容

在△ABC中，∠ACB=90°，CB=a，CA=b，AB=c点P是BC上异于B、C的任一点，过P作AB的垂线与边AB及AC的延长线分别交于R、Q．
（1）设PC=x，△PQC、△PBR的面积分别为S₁、S₂，试用x、a、b、c表示S₁+S₂；
（2）当点P在BC上移动时，问x取何值时，有S₁+S₂最小值？并求出这个最小值．

解：（1）由题中条件可得Rt△BPR∽△BAC，∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，BR= $\text{[math]}$ ，PR= $\text{[math]}$ ，
同理Rt△QPC∽Rt△BAC，∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，QC= $\text{[math]}$ ，
∴S₁+S₂= $\text{[math]}$ PC•QC+ $\text{[math]}$ BR•PR= $\text{[math]}$ （x• $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）

（2）S₁+S₂= $\text{[math]}$ PC•QC+ $\text{[math]}$ BR•PR= $\text{[math]}$ （x• $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，
若使S₁+S₂取最小值，则有（a-x）²=0，即x=a，即点P运动到点B时，其值最小，
S₁+S₂= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由题中条件可得Rt△BPR∽△BAC，Rt△QPC∽Rt△BAC由对应线段成比例可得线段BR、PR、QC的值，进而可求其面积；
（2）若使其面积之和最小，则只需（a-x）²=0，即x=a即可．
点评：本题主要考查了相似三角形的判定及性质以及三角形面积的求解，能够在掌握的基础上熟练掌握．