Question

如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，点P、Q分别是BC边和AB边上的动点，点P从点C向点B运动，点Q从点A向点B运动，QR⊥BC，垂足为R，设P、Ｑ同时运动，并且当P运动4单位长度时，Q运动5（1-x）单位长度，是否存在x的值，使以P、Q、R为顶点的三角形与△ACP相似？若存在，求出所有x的值；若不存在，说明理由。

Answer 1

解：存在x的值，使以P、Q、R为顶点的三角形与△ACP相似，BQ=5x，
由相似三角形求得BR=4x，QR=3x
①当P在C、R之间时，PR=4-8x，若△PRQ∽△ACP，则PR∶AC=RQ∶CP，得，
∴x=，
若△QRP∽△ACP，则QR∶AC=RP∶CP，即x²+2x-1=0，
∴x₁=-1，x₂=--1（舍去）；
②当P在B、R之间时，PR=8x-4
若△PRQ∽△ACP，则PR∶AC=RQ∶CP，得
∴x=，
若△QRP∽△ACP，则QR∶AC=RP∶CP，即x²-2x+1=0，
∴x₁=x₂=1（舍去），
综上所述，存在x的值，x₁=-1，x₂=，x₃=。