Question

如果抛物线的顶点在抛物线上，同时，抛物线的顶点在抛物线上，那么，我们称抛物线与关联。

(1)已知抛物线①，判断下列抛物线②；③与已知抛物线①是否关联，并说明理由。

(2)抛物线:，动点P的坐标为（t，2），将抛物线绕点P（t，2）旋转得到抛物线，若抛物线与关联，求抛物线的解析式。

(3)A为抛物线:的顶点，B为与抛物线关联的抛物线顶点，是否存在以AB为斜边的等腰直角，使其直角顶点C在轴上，若存在，求出C点的坐标；若不存在，请说明理由。

 

Answer 1

   (1) ∵抛物线①，其顶点坐标为M（-1，-2）.

     经验算，点在抛物线②上，不在抛物线③上，所以，抛物线①与抛物线③不是关联的； 抛物线②，其顶点坐标为(1，2)，经验算点在抛物线①上，所以抛物线①、②是关联的.   (3分)

(2)抛物线：的顶点的坐标为（-1，-2），因为动点的坐标为

（t，2），所以点在直线y = 2上，作关于的对称点，分别过点、作直线y=2的垂线，垂足为、，则，所以点的纵坐标为6.    (1分)

当时，，解之得，，.

∴或.            (1分)

2.(1)设抛物线的抛物线为.

因为点在抛物线上，∴，.

∴抛物线的解析式为             (1分)

(2)设抛物线的抛物线为.

因为点在抛物线上，∴，.

∴抛物线的解析式为           ( 1分)

(3)点为轴上的一动点，以为腰作等腰直角△，令的坐标为，则点B的坐标分为两类：

①当A，B，C逆时针分布时，如图中B点，过A、B作y轴的垂线，垂足分别为H、F，则，∴CF=AH=1，BF=CH=c+2，点B的坐标为（c+2，c-1）.

当点B在抛物线：上时，，解得c=1. (3分)

②当A，B，C顺时针分布时，如图中点，过作y轴的垂线，垂足为D，同理可得点的坐标为（-c-2，c+1）.

当点在抛物线：上时，，解得或.   (2分)

综上所述，存在三个符合条件的等腰直角三角形，期中C点的坐标分别为，，.         (2分)