Question

如果抛物线C₁的顶点在抛物线C₂上，同时，抛物线C₂的顶点在抛物线C₁上，那么，我们称抛物线C₁与C₂关联．
（1）已知抛物线①y=x²+2x-1，判断下列抛物线②y=-x²+2x+1；③y=2x²+2x+1与已知抛物线①是否关联，并说明理由．
（2）抛物线C₁：y=

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(x+1)2-2，动点P的坐标为（t，2），将抛物线绕点P（t，2）旋转180°得到抛物线C₂，若抛物线C₁与C₂关联，求抛物线C₂的解析式．

Answer 1

分析：（1）首先求出抛物线①的顶点坐标，代入抛物线②、③中进行验证，然后再求得抛物线②、③的顶点坐标代入①中进行验证，根据定义的抛物线关联条件即可进行判断．
（2）根据新定义，若抛物线C₁、C₂关联，它们的顶点坐标在对方的函数图象上；抛物线C₁绕点P旋转180°后，所得C₂的顶点与抛物线C₁的顶点关于点P对称，显然它们的纵坐标到直线y=2的距离相等（点P在直线y=2上），可据此求出抛物线C₂的顶点纵坐标，代入抛物线C₁的解析式后即可求出抛物线C₂的顶点，将C₂的解析式设为顶点式，再将C₁的顶点坐标代入其中即可确定抛物线C₂的解析式．

解答：解：（1）∵抛物线①y=x²+2x-1=（x+1）²-2，其顶点坐标为M（-1，-2）．
经验算，点M在抛物线②上，不在抛物线③上，所以，抛物线①与抛物线③不是关联的；
抛物线②y=-x²+2x+1=-（x-1）²+2，其顶点坐标为N₁（1，2），
经验算点N₁在抛物线①上，
所以抛物线①、②是关联的，物线①与抛物线③不是关联的．

（2）抛物线C₁：y=

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(x+1)2-2的顶点M的坐标为（-1，-2），
因为动点P的坐标为（t，2），所以点P在直线y=2上，
作M关于P的对称点N，分别过点M、N作直线y=2的垂线，垂足为E、F，则ME=NF=4，所以点N的纵坐标为6．
当y=6时，

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(x+1)2-2=6，解之得，x₁=7，x₂=-9．
∴N（7，6）或N（-9，6）．
设抛物线C₂的抛物线为y=a（x-7）²+6．
因为点M（-1，-2）在抛物线C₂上，∴-2=a（-1-7）²+6，a=-

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．
∴抛物线C₂的解析式为y=-

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(x-7)2+6；
设抛物线C₂的抛物线为y=a（x+9）²+6．
因为点M（-1，-2）在抛物线C₂上，∴-2=a（-1+9）²+6，a=-

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．
∴抛物线C₂的解析式为y=-

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(x+9)2+6．

点评：此题以新定义的形式考查了二次函数解析式的确定、函数图象的平移与旋转等知识，充分理解新定义的含义是解题的关键；（2）题中，无论函数图象怎样平移或旋转，抓住开口方向、开口大小、顶点坐标即可正确得到新函数的解析式．