Question

【题目】如图，正方形ABCD中，G是BC中点，DE⊥AG于E，BF⊥AG于F，GN∥DE，M是BC延长线上一点。

（1）求证：△ABF≌△DAE

（2）尺规作图：作∠DCM的平分线，交GN于点H（保留作图痕迹，不写作法和证明），试证明GH=AG。

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；

（2）作图见解析，证明见解析.

【解析】解：∵ 四边形ABCD是正方形

∴ AB=BC=CD=DA

∠DAB=∠ABC=90°

∴ ∠DAE+∠GAB=90°

∵ DE⊥AG BF⊥AG

∴ ∠AED=∠BFA=90°

∠DAE +∠ADE=90°

∴ ∠GAB =∠ADE

在△ABF和△DAE中

∴ △ABF≌△DAE

（2）作图略

方法1：作HI⊥BM于点I

∵ GN∥DE

∴ ∠AGH=∠AED=90°

∴ ∠AGB+∠HGI=90°

∵ HI⊥BM

∴ ∠GHI+∠HGI=90°

∴ ∠AGB =∠GHI

∵ G是BC中点

∴ tan∠AGB=

∴ tan∠GHI= tan∠AGB=

∴ GI=2HI

∵ CH平分∠DCM

∴ ∠HCI=

∴ CI=HI

∴ CI=CG=BG=HI

在△ABG和△GIH中

∴ △ABG≌△GIH

∴ AG=GH