题目内容

如图，在直角坐标系中，等边△OAB的边OB与x轴重合，顶点O是坐标原点，且点A的坐标为（1， $数学公式$ ），过点A的动直线l从AB出发，以点A为中心，沿逆时针方向旋转且与x轴的正半轴交于点C，以线段AC为边在直线l的上方作等边△ACD．
（1）求证：△AOC≌△ABD；
（2）当等边△ACD的边DC与x轴垂直时，求点D的坐标；
（3）在直线L的运动过程中，等边△ACD的顶点D的坐标在变化，设直线BD交y轴于点E，点E的坐标是否发生变化？若没有变化，求点E的坐标和直线BD的函数表达式；如果发生变化，请说明理由．
（4）当直线L继续绕点A旋转且与x轴的负半轴交于点C，其他条件不变时，等边△ACD的顶点D是否在一条固定的直线上运动？如果是，请直接写出这条函数表达式；如果不是，请直接回答“不是”．

解：（1）证明：∵△OAB和△ACD是等边三角形，
∴AO=AB，AC=AD，∠OAB=∠CAD=60°，
又因∠OAC=∠OAB+∠BAC，∠BAD=∠BAC+∠CAD，
∴∠OAC=∠BAD，
∴△AOC≌△ABD．

（2）∵DC⊥x轴，△ACD为等边三角形，
∴∠DCO=90°，∠DCA=60°
∴∠ACO=∠DCO-∠DCA=30°，
过点A作AG⊥x轴，垂足为G，如图所示：

∵点A的坐标为（1， $\text{[math]}$ ），
∴AG= $\text{[math]}$ ，0B=2OG=2，
在RT△ACG中，∠ACO=30°，
∴AC=2AG=2 $\text{[math]}$ ，GC= $\text{[math]}$ =3
∴OC=4，DC=AC=2 $\text{[math]}$ ，
∴点D的坐标为（4，2 $\text{[math]}$ ），
答：点D的坐标为（4，2 $\text{[math]}$ ）．

（3）点E的坐标不变，
由（1）得∠ABD=∠AOC=60°，
∴∠DBC=180°-60°-60°=60°，
过点D作DH⊥x轴，如图所示：设点D 的坐标为（x，y），
∴DH=y，OH=x，在RT△DBH中，DH=BHtan∠DBC=BHtan60°=（OH-OB） $\text{[math]}$ ，
即y=（x-2） $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ x-2 $\text{[math]}$ ，
即点D始终在直线y= $\text{[math]}$ x-2 $\text{[math]}$ 上运动，
则直线y= $\text{[math]}$ x-2 $\text{[math]}$ 与Y轴的交点就是所求的点，
故点E的坐标为（0，-2 $\text{[math]}$ ），
所求直线BD的函数表达为y= $\text{[math]}$ x-2 $\text{[math]}$ ，
答：点E的坐标为（0，-2 $\text{[math]}$ ），直线BD的函数表达为y= $\text{[math]}$ x-2 $\text{[math]}$ ．

．

（4）解这条直线函数的表达式为y=- $\text{[math]}$ x，
理由：由条件可知，∠AOD=60°，即D在于X轴正半轴夹角为120度直线上运动，即这条直线的函数表达式为y=- $\text{[math]}$ x．
分析：（1）根据等边三角形的性质得到AO=AB，AC=AD，∠OAB=∠CAD=60°，求出∠OAC=∠BAD即可；
（2）过点A作AG⊥X轴，垂足为G，根据A的坐标求出AG、OB，求出∠ACO的度数，求出GC、AG 的长即可得到答案；
（3）过点D作DH⊥X轴，设点D 的坐标为（x，y），根据锐角三角函数的定义得出y=（x-2） $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ X-2 $\text{[math]}$ ，即可求出答案；
（4）根据已知得到∠AOD=60°，即D在于X轴正半轴夹角为120度直线上运动，求出直线的解析式即可．
点评：本题主要考查对锐角三角函数的定义，全等三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形，等边三角形的性质，用待定系数法求一次函数的解析式等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．