Question

如图，AB是⊙O的直径，C为圆周上的一点，过点C的直线MN满足∠MCA＝∠CBA.

(1)求证：直线MN是⊙O的切线

(2)过点A作AD⊥MN于点D，交⊙O于点E，已知AB＝6，BC＝3，求阴影部分的面积.

Answer 1

 证明：(1)连接OC，∵AB是⊙O的直径，C为圆周上的一点，

∴∠ACB＝90°，即∠ACO＋∠OCB＝90°，

∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，

又∠MCA＝∠ABC，故∠MCA＝∠OCB，

∴∠ACO＋∠MCA＝90°，即OC⊥MN，直线MN过点C，

∴直线MN是⊙O的切线．(5分)

(2)连接OE、CE，由(1)OC⊥MN，AD⊥MN，得OC∥AE，

在Rt△ACB中，cosB＝＝，∴∠B＝60°，故OC＝OB＝BC＝3，

∴∠EAO＝∠COB＝60°，故OE＝OA＝EA＝3，∠EOC＝60°，

∴OC＝AE，四边形AOCE是平行四边形，故S_△EAC＝S_△EOC(8分)

于是，S_阴＝S_△ADC－S_扇形EOC，

在Rt△ACB中，BC＝3，AB＝6，∴AC＝3，

在Rt△ADC中，AC＝3，∠DCA＝∠B＝60°，

∴DC＝，AD＝，　∴S_△ADC＝AD·DC＝，(10分)

而S_扇形EOC＝于是S_阴＝S_△ADC－S_扇形EOC＝