Question

设直线nx+(n+1)y=

2

（n为自然数）与两坐标轴围成的三角形面积为S_n（n=1、2、…、2011），则S₁+S₂+…+S₂₀₁₁的值为（　　）

• A．

  2

• B．

  1

  2011

• C．

  2011

  2012

• D．

  2010

  2011

Answer 1

分析：依次求出S₁、S₂、S_n，就发现规律：S_n=

1

n(n+1)

，然后求其和即可求得答案．注意

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．

解答：解：当n=1时，y=-

1

2

x+

2

2

，
此时：A（0，

2

2

），B（

2

，0），
∴S₁=

1

2

×

2

×

2

2

=

1

1×2

，
同理：S₂=

1

2

×

2

2

×

2

3

=

1

2×3

，
…
S_n=

1

2

×

2

n

×

2

n+1

=

1

n(n+1)

，
∴S₂₀₁₁=

1

2011×2012

，
∴S₁+S₂+S₃+…+S₂₀₁₁=

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

2011×2012

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

2011

-

1

2012

=1-

1

2012

=

2011

2012

．
故选C．

点评：本题考查了一次函数y=kx+b（k≠0，k，b为常数）与坐标轴所围成的三角形的面积计算．要学会计算一次函数与坐标轴的交点坐标．同时考查了运用

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

（n为自然数）进行计算的方法．