Question

【题目】学以致用：问题1：怎样用长为的铁丝围成一个面积最大的矩形？

小学时我们就知道结论：围成正方形时面积最大，即围成边长为的正方形时面积最大为．请用你所学的二次函数的知识解释原因．

思考验证：问题2：怎样用铁丝围一个面积为且周长最小的矩形？

小明猜测：围成正方形时周长最小．

为了说明其中的道理，小明翻阅书籍，找到下面的结论：

在、均为正实数）中，若为定值，则，只有当时，有最小值．

思考验证：证明：、均为正实数）

请完成小明的证明过程：

证明：对于任意正实数、

　　

解决问题：

（1）若，则　　（当且仅当　　时取“” ；

（2）运用上述结论证明小明对问题2的猜测；

（3）填空：当时，的最小值为　　．

Answer 1

【答案】（1），2，1；（2）运铁丝围一个面积为且周长最小的矩形，所围成正方形时周长最小；（3）9

【解析】

运用完全平方公式展开，再把根式部分移到不等式的右边便可得：；

（1）运用公式（其中、均为正实数，当且仅当时取“” ，进行解答便可；

（2）设矩形的长、宽分别为、，由题意得，再根据公式证明当时，有最小值，进而得结论；

（3）把化成的形式，再根据公式进行解答便可．

解：，

，

，

故答案为：；

（1），

，

当时，即时，，即，

故答案为：2；1．

（2）设矩形的长、宽分别为、，由题意得，则

，即，

当时，取最小值为10，此时矩形的周长最小为，

时，矩形变为正方形，

铁丝围一个面积为且周长最小的矩形，所围成正方形时周长最小；

（3），

，

，，

，即，

当时，即时，

取最小值为：．

故答案为：9．