Question

如图，已知∠MON＝90º，等边△ABC的一个顶点A是射线OM上的一定点，顶点B与点O重合，顶点C在∠MON内部.
（1）当顶点B在射线ON上移动到B₁时，连结AB₁，请在∠MON内部作出以AB₁为边的等边三角形AB₁C₁（保留作图痕迹，不写作法和证明）；
（2）设AB₁与OC交于点Q，AC的延长线与B₁C₁交于点D.求证：

（3）连结CC₁，试猜想∠ACC₁为多少度？并证明你的猜想.

 

Answer 1

解：（1）如图所示：
（2）证明：∵△AOC与△AB₁C₁是等边三角形，
∴∠ACB＝∠AB₁D＝60º.
又∵∠CAQ＝∠B₁AD，∴△ACQ∽△AB₁D；
∴ =
即AC·AD=AQ·AB₁.……………………4分
（3）猜想∠ACC₁＝90º.……………………5分
证明：∵△AOC和△AB₁C₁为正三角形，
AO＝AC，AB₁＝AC₁，
∴∠OAC＝∠C₁AB₁，
∴∠OAC－∠CAQ＝∠C₁AB₁－∠CAQ，
∴∠OAB₁＝∠CAC₁.
∴△AO B₁≌△AC C₁.
∴∠ACC₁＝∠AOB₁＝90º.……………………9分

解析