Question

如图，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE、始终经过点A，EF与AC交于M点．

（1）求证：△ABE∽△ECM；

（2）探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）由AB=AC，根据等边对等角，可得∠B=∠C，再结合△ABC≌△DEF与三角形外角的性质，可得∠CEM=∠BAE，即可证得结论；（2）能，BE=1或

【解析】

试题分析：（1）由AB=AC，根据等边对等角，可得∠B=∠C，再结合△ABC≌△DEF与三角形外角的性质，可得∠CEM=∠BAE，即可证得结论；

（2）首先由∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C，可得AE≠AM，然后分别从AE=EM与AM=EM去分析，注意利用全等三角形与相似三角形的性质求解即可得到答案.

（1）∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∵△ABC≌△DEF，

∴∠AEF=∠B，

又∵∠AEF+∠CEM=∠AEC=∠B+∠BAE，

∴∠CEM=∠BAE，

∴△ABE∽△ECM；

（2）∵∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C，

∴∠AME＞∠AEF，

∴AE≠AM；

当AE=EM时，则△ABE≌△ECM，

∴CE=AB=5，

∴BE=BC﹣EC=6﹣5=1，

当AM=EM时，则∠MAE=∠MEA，

∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM，

即∠CAB=∠CEA，

又∵∠C=∠C，

∴△CAE∽△CBA，

∴，

∴CE=，

∴BE=6﹣=.

考点：相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及二次函数的最值

点评：此题难度较大，注意数形结合思想、分类讨论思想与函数思想的应用是解答本题的关键．