题目内容
如图，⊙A和⊙B是外离的两圆，两圆的连心线分别交⊙A、⊙B于E、F，点P是线段AB上的一动点（点P不与E、F重合），PC切⊙A于点C，P
D切⊙B于点D，已知⊙A的半径为2，⊙B的半径为1，AB=5．（1）如设线段BP的长为x，线段CP的长为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（2）如果PC=PD，求PB的长；
（3）如果PC=2PD，判断此时直线CP与⊙B的位置关系，证明你的结论．
分析：（1）由PC是圆A的切线，可得∠ACP=90°，在Rt△ACP中，由AC2+CP2=AP2，即可求得y关于x的函数解析式；
（2）由PC=PD，可得
=
，解此方程即可求得PB的长；
（3）首先易证△ACP∽△BDP，可得∠APC=∠BPD，然后过点B作CP的垂线交CP的延长线于H，可得BD=BH，则可得直线CP与圆B相切．
（2）由PC=PD，可得
| x2-10x+21 |
| x2-1 |
（3）首先易证△ACP∽△BDP，可得∠APC=∠BPD，然后过点B作CP的垂线交CP的延长线于H，可得BD=BH，则可得直线CP与圆B相切．
解答：解：（1）∵PC是圆A的切线，
∴∠ACP=90°（1分）
在Rt△ACP中，AC2+CP2=AP2，
∴4+y2=（5-x）2，
∴y=
（1＜x＜3）；（4分）
（2）∵PC=PD，
∴
=
，
∴x=
（符合要求）
∴PB的长为
；（3分）
（3）∵PC=2PD，
∴
=
=2，∠ACP=∠BDP=90°，
∴△ACP∽△BDP，
∴∠APC=∠BPD，（3分）
过点B作CP的垂线交CP的延长线于H，
∵∠APC=∠BPH，
∴∠BPD=∠BPH，
又∵BD⊥DP，BH⊥PH，
∴BD=BH，（2分）
∴直线CP与圆B相切．（1分）
∴∠ACP=90°（1分）
在Rt△ACP中，AC2+CP2=AP2，
∴4+y2=（5-x）2，
∴y=
| x2-10x+21 |
（2）∵PC=PD，
∴
| x2-10x+21 |
| x2-1 |
∴x=
| 11 |
| 5 |
∴PB的长为
| 11 |
| 5 |
（3）∵PC=2PD，
∴
| PC |
| PD |
| AC |
| BD |
∴△ACP∽△BDP，
∴∠APC=∠BPD，（3分）
过点B作CP的垂线交CP的延长线于H，
∵∠APC=∠BPH，
∴∠BPD=∠BPH，
又∵BD⊥DP，BH⊥PH，
∴BD=BH，（2分）
∴直线CP与圆B相切．（1分）
点评：此题考查了圆的切线的性质与判定，勾股定理的应用，圆与圆的位置关系等知识．此题难度适中，解题的关键是注意方程思想与数形结合思想的应用．
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