Question

【题目】在边长为2的菱形ABCD中，E是边AD的中点，点F、G、H分别在边AB、BC、CD上，且FG⊥EF，EH⊥EF．

（1）如图1，当点是边中点时，求证：四边形是矩形；

（2）如图2，当时，求值；

（3）当，且四边形是矩形时（点不与中点重合），求的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）或

【解析】

（1）连接、，由菱形的性质及三角形的中位线定理证得，，从而可知四边形是平行四边形，再由有一个角为直角的平行四边形是矩形得出结论；

（2）连接，由菱形的性质及可得，及，从而判定，结合及菱形的性质可得答案；

（3）如图，过点作于点，过点作延长线于点，根据及菱形的边长可求得，．设，则，当四边形是矩形时，，则与相似（三垂直模型），分两种情况列式计算即可：①，②．

解：（1）连接、，

菱形中，是边的中点，点是边中点，

，，

，．

，

，

四边形是平行四边形，

，

，

四边形是矩形；

（2）连接，

菱形中，，

，

，

，

，

又菱形中，，

，

，

，

，

；

（3）如图，过点作于点，过点作延长线于点，

四边形是矩形，

，

由（2）可知，，

此时，

又菱形边长为2，

，

，

，

，

．

设，则，

当四边形是矩形时，，则与相似（三垂直模型）．

①若，

则，

，

解得，（点不与中点重合，舍去）；

②若，

则，

，

解得．

综上，的长为或．