题目内容
已知：如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=6，AB=8，sinC=
，点P在射线DC上，点Q在射线AB上，且PQ⊥CD，设DP=x，BQ=y．（1）求证：点D在线段BC的垂直平分线上；
（2）如图2，当点P在线段DC上，且点Q在线段AB上时，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）若以点B为圆心、BQ为半径的⊙B与以点C为圆心、CP为半径的⊙C相切，求线段DP的长．
【答案】分析：（1）过D作DH⊥BC于H，得出四边形ABHD是矩形，推出DH=AB，BH=AD，在Rt△DHC中，求出DC=10，HC=6，推出BH=HC=6即可；
（2）延长BA、CD相交于点S，根据三角形的中位线求出SD=DC=10，SA=AB=8，得出DP=x，BQ=y，SP=x+10，证△SPQ～△SAD，得出
=
=
，求出SQ=
（x+10）即可；
（3）有三种情况：（ⅰ）当点P在线段DC上，且点Q在线段AB上时，只有可能两圆外切，由BQ+CP=BC，-
x+
+10-x=12，求出x即可；（ⅱ）当点P在线段DC上，且点Q在线段AB的延长线上时，两圆不可能相切，（ⅲ）当点P在线段DC的延长线上，且点Q在线段AB的延长线上时，得出BQ=
x-
，CP=x-10，若两圆外切，BQ+CP=BC，即
x-
+x-10=12，若两圆内切，|
x-
-（x-10）|=12，求出即可．
解答：
（1）证明：过D作DH⊥BC于H，如图①，
在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，
∴∠B=∠A=90°，∠BHD=90°，
∴四边形ABHD是矩形，
∴DH=AB，BH=AD，
又∵AD=6，AB=8，
∴DH=8，BH=6，
在Rt△DHC中，sinC=
，设DH=4k=8，DC=5k
∴DC=10，HC=
=6，
∴BH=HC=6，
又∵DH⊥BC，
∴点D在线段BC的垂直平分线上．
（2）解：延长BA、CD相交于点S，如图②，
∵AD∥BC且BC=12，
∴AD=
BC，
∴
=
=
=
，
∴SD=DC=10，SA=AB=8，
∵DP=x，BQ=y，SP=x+10，
∠S=∠S，∠SAD=∠SPQ=90°，
∴△SPQ～△SAD
∴
=
=
，
∴SQ=
（x+10），
∴BQ=16-
（x+10），
∴所求的解析式为：y=-
x+
，定义域是0≤x≤
．
（3）解：有三种情况：
（ⅰ）当点P在线段DC上，且点Q在线段AB上时，只有可能两圆外切，
由BQ+CP=BC，-
x+
+10-x=12，
解得：x=
，
（ⅱ）当点P在线段DC上，且点Q在线段AB的延长线上时，两圆不可能相切，
（ⅲ）当点P在线段DC的延长线上，且点Q在线段AB的延长线上时，
此时BQ=
x-
，CP=x-10
若两圆外切，BQ+CP=BC，即
x-
+x-10=12，
解得：x=
，
若两圆内切，|BQ-CP|=BC，
即|
x-
-（x-10）|=12，
x-
-（x-10）=12，
x-
-（x-10）=-12，
x=22，x=-74（不合题意舍去），
综上所述，⊙B与⊙C相切时，线段DP的长为
或
或22．
点评：本题考查了圆与圆的位置关系，勾股定理，三角形的中位线，函数的应用等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，本题较好，有一定的难度．
（2）延长BA、CD相交于点S，根据三角形的中位线求出SD=DC=10，SA=AB=8，得出DP=x，BQ=y，SP=x+10，证△SPQ～△SAD，得出
==，求出SQ=（x+10）即可；（3）有三种情况：（ⅰ）当点P在线段DC上，且点Q在线段AB上时，只有可能两圆外切，由BQ+CP=BC，-
x++10-x=12，求出x即可；（ⅱ）当点P在线段DC上，且点Q在线段AB的延长线上时，两圆不可能相切，（ⅲ）当点P在线段DC的延长线上，且点Q在线段AB的延长线上时，得出BQ=x-，CP=x-10，若两圆外切，BQ+CP=BC，即x-+x-10=12，若两圆内切，|x--（x-10）|=12，求出即可．解答：
（1）证明：过D作DH⊥BC于H，如图①，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，
∴∠B=∠A=90°，∠BHD=90°，
∴四边形ABHD是矩形，
∴DH=AB，BH=AD，
又∵AD=6，AB=8，
∴DH=8，BH=6，
在Rt△DHC中，sinC=
，设DH=4k=8，DC=5k∴DC=10，HC=
=6，∴BH=HC=6，
又∵DH⊥BC，
∴点D在线段BC的垂直平分线上．
（2）解：延长BA、CD相交于点S，如图②，
∵AD∥BC且BC=12，
∴AD=
BC，∴
===，∴SD=DC=10，SA=AB=8，
∵DP=x，BQ=y，SP=x+10，
∠S=∠S，∠SAD=∠SPQ=90°，
∴△SPQ～△SAD
∴
==，∴SQ=
（x+10），∴BQ=16-
（x+10），∴所求的解析式为：y=-
x+，定义域是0≤x≤．（3）解：有三种情况：
（ⅰ）当点P在线段DC上，且点Q在线段AB上时，只有可能两圆外切，
由BQ+CP=BC，-
x++10-x=12，解得：x=
，（ⅱ）当点P在线段DC上，且点Q在线段AB的延长线上时，两圆不可能相切，
（ⅲ）当点P在线段DC的延长线上，且点Q在线段AB的延长线上时，
此时BQ=
x-，CP=x-10 若两圆外切，BQ+CP=BC，即
x-+x-10=12，解得：x=
，若两圆内切，|BQ-CP|=BC，
即|
x--（x-10）|=12，x--（x-10）=12，x--（x-10）=-12，x=22，x=-74（不合题意舍去），
综上所述，⊙B与⊙C相切时，线段DP的长为
或或22．点评：本题考查了圆与圆的位置关系，勾股定理，三角形的中位线，函数的应用等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，本题较好，有一定的难度．
练习册系列答案
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