Question

如图1，在△ABC中，D、E、F分别为三边的中点，G点在边AB上，△BDG与四边形ACDG的周长相等，设BC=a、AC=b、AB=c.

（1）求线段BG的长；

解：

 

（2）求证：DG平分∠EDF;

证：

（3）连接CG，如图2，若△BDG与△DFG相似，求证：BG⊥CG.

证：

Answer 1

解析：已知三角形三边中点连线，利用三角形中位线性质计算证明.（1）已知△ABC的边长，由三角形中位线性质知，根据△BDG与四边形ACDG周长相等，可得.（2）由（1）的结论，利用等腰三角形性质和平行线性质可证. （3）利用两个三角形相似，对应角相等，从而等角对等边，BD=DG=CD，即可证明.

解（1）∵D、C、F分别是△ABC三边中点

∴DE∥AB,DF∥AC，

又∵△BDG与四边形ACDG周长相等

即BD+DG+BG=AC+CD+DG+AG

∴BG=AC+AG

∵BG=AB－AG

∴BG==

（2）证明：BG=，FG=BG－BF=－

∴FG=DF,∴∠FDG=∠FGD

又∵DE∥AB

∴∠EDG=∠FGD

∠FDG=∠EDG

∴DG平分∠EDF    

（3）在△DFG中，∠FDG=∠FGD, △DFG是等腰三角形,

∵△BDG与△DFG相似,∴△BDG是等腰三角形,

∴∠B=∠BGD,∴BD=DG,

则CD= BD=DG,∴B、CG、三点共圆,

∴∠BGC=90°,∴BG⊥CG

点评：这是一道几何综合题，在计算证明时，根据题中已知条件，结合图形性质来完成.后面的问题可以结合前面问题来做.