题目内容
（2013•合肥模拟）在直角三角形ABC中，∠A=60°，∠C=90°，AC=100，P、Q两点同时从A点出发，P点以每秒3个单位的速度沿AC方向运动，Q点以每秒4个单位的速度沿AB方向运动，P点到达C点或Q点到达B点时，整个运动停止．设P、Q两点运动t秒后，线段PQ的长l．（1）写出l与t之间的函数关系式，自变量的取值范围；
（2）画出函数图象；
（3）当t为何值时，PQ的长等于
| 1 | 2 |
分析：（1）首先求出AB=2AC=200，点Q和点P分别在边上运动的时间确定t取值范围，作QH⊥AP，垂足为H，利用勾股定理求得结论；
（2）利用所求函数找出关键点，画出图象即可；
（3）求出PQ的值，代入函数解决问题．
（2）利用所求函数找出关键点，画出图象即可；
（3）求出PQ的值，代入函数解决问题．
解答：解：（1）如图，
AB=
=200，
AP=3t，AQ=4t，
作QH⊥AP，垂足为H，
在直角三角形AQH中，
AH=AQ•cos60°=2t，
QH=AQ•sin60°=2
t，
∴PH=AP-AH=3t-2t=t，
在直角三角形PQH中，
PQ=
=
t2=
t；
P在AC上运动时间
秒，
Q在AB上运动时间
=50秒，
P点到达C点或Q点到达B点时，整个运动停止，
所以t的取值范围为（0＜t≤
），
即l=
t（0＜t≤
）；
（2）如图
（3）PQ=
AB=100，
即
t=100，
t=
；
当t=
秒时，PQ的长等于
AB．
AB=
| AC |
| cos60° |
AP=3t，AQ=4t，
作QH⊥AP，垂足为H，
在直角三角形AQH中，
AH=AQ•cos60°=2t，
QH=AQ•sin60°=2
| 3 |
∴PH=AP-AH=3t-2t=t，
在直角三角形PQH中，
PQ=
| PH2+QH2 |
(2
|
| 13 |
P在AC上运动时间
| 100 |
| 3 |
Q在AB上运动时间
| 200 |
| 4 |
P点到达C点或Q点到达B点时，整个运动停止，
所以t的取值范围为（0＜t≤
| 100 |
| 3 |
即l=
| 13 |
| 100 |
| 3 |
（2）如图
（3）PQ=
| 1 |
| 2 |
即
| 13 |
t=
10
| ||
| 13 |
当t=
10
| ||
| 13 |
| 1 |
| 2 |
点评：此题考查动点问题求函数解析式：结合图形利用锐角三角函数或勾股定理是解决问题的关键．
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