Question

如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b（a≠0）与x轴、y轴分别交于点C、B，与反比例函数y=

k

x

（k≠0）相交于A、D两点，其中BD=5，BO=2，sin∠OBC=

3

5

．
（1）分别求出反比例函数和直线AB的解析式；
（2）连接OD，求△COD的面积．

Answer 1

分析：（1）过D点作DH⊥y轴于H，垂足为H，如图所示，在直角三角形BDH中，由BD及sin∠OBC的值，利用锐角三角函数定义求出DH的长，再利用勾股定理求出BH的长，由BH+OB求出OH的长，确定出D的坐标，将D的坐标代入反比例解析式中求出k的值，确定出反比例解析式，将B和D的坐标代入一次函数解析式中得到关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，确定出一次函数解析式；
（2）令一次函数解析式中y=0求出对应x的值，求出C的坐标，确定出OC的长，三角形COD以OC为底边，D的纵坐标为高，利用三角形的面积公式求出即可．

解答：解：（1）过D点作DH⊥y轴于H，垂足为H，如图所示：
在Rt△BDH中，BD=5，sin∠OBC=

3

5

，
∴DH=BD•sin∠DBH=5×

3

5

=3，
∴BH=

BD2-DH2

=4，OH=BH+OB=4+2=6，
∴点D的坐标为（3，-6），
将D的坐标代入中，解得：k=-18，
∴y=-

18

x

，
∵将D（3，-6），B（0，-2）代入y=ax+b中，
得

3a+b=-6 b=-2

，
解这个方程组得：

a=- 4 3 b=-2

，
∴y=-

4

3

x-2；
（2）连接OD，
在y=-

4

3

x-2中，令y=0，得-

4

3

x-2=0，
解这个方程得：x=-

3

2

，
∴OC=

3

2

，
∴S_△COD=

1

2

•OC•|y_D|=

1

2

×

3

2

×6=

9

2

．

点评：此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：坐标与图形性质，锐角三角函数定义，勾股定理，一次函数与坐标轴的交点，以及三角形的面积求法，利用了待定系数法，待定系数法是数学中重要的思想方法，学生做题时注意灵活运用．