Question

如图，抛物线y=ax²-x-2（a≠0）的图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交点于点C，已知B点坐标为（4，0）

（1）求抛物线的解析式

（2）试探究ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标

（3）若点M是线段BC下方抛物线上一点，求△MBC的面积最大值，并求出此时点M的坐标。

Answer 1

解：（1）将点B（4，0）代入y=ax²-x-2中，得：16a-×4-2=0，∴a=

y= x²-x-2………………3分

（2）令y=0，则x²-x-2=0，解得x₁=4，x₂=-1，∴A（-1，0），∴OA=1，OC=2，OB=4，∴，又∠AOC=∠COB=90°，∴Rt△AOC∽Rt△COB，…………5分

∴∠ACO=∠CBO，∠ACO+∠OCB=∠CBO+∠OCB=90°，即∠ACB=90°，∴△ABC是直角三角形，易知△ABC的外接圆的圆心为AB的中点，圆心的坐标为（1。5，0）…8分

（3）连结OM，设点M（x，y），易知x＞0，y＜0，则S_△MBC=S_OCMB-S_△OCB=×2×│x│+×4×│y│-×2×4=x-2y-4，S_△MBC=x-2（x²-x-2）-4=-x²+4x+4，当x=2时S_△MBC有最大值，此时点M的坐标为（2，-3）