题目内容
【题目】如图，在
中，
，过点
作
于点
，点
是线段
上一动点，过三点
作
交
于点
，过点作
交
的延长线于点
，交于点
.
（1）求证：四边形
为平行四边形.
（2）当
时，求
的长.
（3）在点整个运动过程中，
①当
中满足某两条线段相等，求所有满足条件的
的长.
②当点
三点共线时，
交
于点
，记
的面积为
，
的面积为
，求
的值. （请直接写出答案）
【答案】（1）见解析；（2）PD＝
；（3）①
或
或PF＝
；②
【解析】
（1）证明两组对边分别平行即可证明四边形FEBP为平行四边形；
（2）①由AC＝10，sinC＝
，可得BC＝6，AB＝8，sinA＝
，所以AD＝ABsin∠ABD＝ABsin∠C＝8×＝
，再求得AP＝
，最后PD＝AD﹣AP解答即可；
②分三种情况讨论：Ⅰ．当PF＝PD时，Ⅱ．当QF＝PD时，Ⅲ．当QF＝PF时，分别解答即可；
③连接FD，求出FD的长，再利用勾股定理求出QF的长．
（1）证明：
∵
，
∴
，
∴
，且
，∴
.
又∵
，
所以四边形
是平行四边形.
（2）在
中，∵
，
∴
.
∵，
， 
.
∴
（3）设
，则
，
①当
时，如图.
∴
∴
，
∴.
②当
时，如图，连结
.
∴
，即
∴
，所以
.
由（1）得：四边形
为平行四边形，
∴
，
在中，易得
∴
，
则
，
∴.
③当
时，如图，连结
.
∵
∴
，
∴
在
中，易得
∴
，且
.
∴
，
∴
.
∴
，
∴
，
综上所述，所有满足条件的PF的长有：
；
②连接QD，连接FD，交BP于点H．
∵Q，O，D三点共线
∴QD为⊙O直径．
∵EF∥BP，O为QD中点，
∴H为DF中点，
∵BP为直径，
∴BP⊥DF，
，
∴PF＝PD．
设PF＝3x，则AF＝4x，AP＝5x
AD＝ABsin∠ABD＝ABsin∠C＝8×
，
∴PD＝AD﹣AP＝﹣5x，
∴3x＝﹣5x，
∴x＝，PF＝PD＝
，
在Rt△ABC中，BD＝
，
在Rt△PDB中，DH＝
，
∴DF＝
，
在Rt△DQF中，QF＝
，
易知△FQM∽△BDM，
∴
．
