题目内容
如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两条直角边OA、OB分别在y轴和x轴上，并且OA和OB的长分别是方程x2-7x+12=0的两根（OA＜OB），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O运动；同时，动点Q从点O开始在线段OB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动，设点P、Q运动的时间为t秒．（1）求A、B两点的坐标；
（2）t为何值时，△POQ为等腰三角形？
（3）当t为何值时，△POQ与△AOB相似，并直接写出此时点P、Q的坐标．
考点：相似形综合题
专题：压轴题
分析：（1）解一元二次方程x2-7x+12=0，求出OA、OB的长度，从而得到A、B点的坐标；
（2）根据OP=OQ，列出方程3-t=2t，求出t的值即可；
（3）分△OPQ∽△OAB和△OPQ∽△OBA两种情况进行讨论，可根据各自得出的对应线段成比例列出方程，求出t的值，进而得到点P、Q的坐标．
（2）根据OP=OQ，列出方程3-t=2t，求出t的值即可；
（3）分△OPQ∽△OAB和△OPQ∽△OBA两种情况进行讨论，可根据各自得出的对应线段成比例列出方程，求出t的值，进而得到点P、Q的坐标．
解答：解：（1）解方程x2-7x+12=0，得x1=3，x2=4，
∵OA＜OB，
∴OA=3，OB=4．
∴A（0，3），B（4，0）；
（2）∵∠POQ=90°，
∴当OP=OQ时，△POQ为等腰三角形，
∴3-t=2t，解得t=1．
即t为1秒时，△POQ为等腰三角形；
（3）∵∠POQ=∠AOB=90°，
∴△POQ与△AOB相似，可能有两种情况：
①若△POQ∽△AOB时，
=
，即
=
，
∴12-4t=6t，
解得：t=
，
∴OP=3-t=
，OQ=2t=
，
∴此时点P的坐标为（0，
），Q的坐标为（
，0）；
②若△POQ∽△BOA时，
=
，即
=
，
∴9-3t=8t，
解得：t=
，
∴OP=3-t=
，OQ=2t=
，
∴此时点P的坐标为（0，
），Q的坐标为（
，0）；
综上可知，当t=
或t=
时，△POQ与△AOB相似，此时点P、Q的坐标分别为（0，
）、（
，0）或（0，
）、（
，0）．
∵OA＜OB，
∴OA=3，OB=4．
∴A（0，3），B（4，0）；
（2）∵∠POQ=90°，
∴当OP=OQ时，△POQ为等腰三角形，
∴3-t=2t，解得t=1．
即t为1秒时，△POQ为等腰三角形；
（3）∵∠POQ=∠AOB=90°，∴△POQ与△AOB相似，可能有两种情况：
①若△POQ∽△AOB时，
| OP |
| OA |
| OQ |
| OB |
| 3-t |
| 3 |
| 2t |
| 4 |
∴12-4t=6t，
解得：t=
| 6 |
| 5 |
∴OP=3-t=
| 9 |
| 5 |
| 12 |
| 5 |
∴此时点P的坐标为（0，
| 9 |
| 5 |
| 12 |
| 5 |
②若△POQ∽△BOA时，
| OP |
| OB |
| OQ |
| OA |
| 3-t |
| 4 |
| 2t |
| 3 |
∴9-3t=8t，
解得：t=
| 9 |
| 11 |
∴OP=3-t=
| 24 |
| 11 |
| 18 |
| 11 |
∴此时点P的坐标为（0，
| 24 |
| 11 |
| 18 |
| 11 |
综上可知，当t=
| 6 |
| 5 |
| 9 |
| 11 |
| 9 |
| 5 |
| 12 |
| 5 |
| 24 |
| 11 |
| 18 |
| 11 |
点评：本题主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定，相似三角形的判定和性质等知识．要注意第（3）小题要根据不同的相似三角形分类进行讨论．
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|
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