Question

在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠B≠90°，点E、F分别是对角线AC、BD的中点．
（1）请画出符合条件的图形，连接EF，试判断线段EF与线段AC之间有怎样的关系，并证明你所得到的结论．
（2）当EF=

1

4

BD时，求∠ADC的大小．

Answer 1

分析：（1）根据直角三角形斜边上中线推出AE=CE，根据等腰三角形性质推出即可；
（2）推出EF=

1

2

AE，推出∠ECA=∠EAC=30°，根据三角形外角性质和等腰三角形性质求出∠ADE=

1

2

∠AEB，∠CDE=

1

2

∠CEB，代入求出即可．

解答：解：（1）如图，EF垂直平分AC．理由如下：
连接AE、CE，
∵∠A=∠C=90°，
点E、F分别是对角线AC、BD的中点，
∴AE=CE=

1

2

BD，
∴EF垂直平分AC．

（2）∵EF=

1

4

BD，AE=CE=

1

2

BD，
∴EF=

1

2

AE．
∵EF⊥AC，∠ECA=∠EAC=30°，
∴∠AEC=180°-∠ECA-∠EAC=120°，
∵AE=DE=

1

2

BD，
∴∠AEB=∠ADE+∠DAE，=2∠ADE，
∴∠ADE=

1

2

∠AEB，
同理∠CDE=

1

2

∠CEB，
如图1，∠ADC=

1

2

∠AEB+

1

2

∠CEB=

1

2

∠AEC=60°；
如图2，∠ADC=

1

2

∠AEB+

1

2

∠CEB=

1

2

(360°-∠AEC)=120°．
答：∠ADC的大小是60°或120°．

点评：本题主要考查对等腰三角形的性质，含30度角直角三角形性质，直角三角形斜边上的中线性质，三角形的外角性质等知识点的理解和掌握，综合运用性质进行推理是解此题的关键．