Question

已知：a＞0，x₁，x₂是方程ax²+bx+c=0的两根且x₁＜x₂，则

1

x1

-

1

x2

的值是（　　）

• A、±

  b

  c2

  b2-4ac

• B、

  1

  c

  b2-4ac

• C、-

  b

  c2

  b2-4ac

• D、±

  b

  c2

  b2-2ac

Answer 1

分析：由根与系数的关系可得：x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

；∵

1

x1

-

1

x2

=（x₂-x₁）÷（x₁•x₂），
分别将两边平方得：（

1

x1

-

1

x2

）²=

(x2-x1)2

(x1•x2)2

；
用（x₂-x₁）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂，把所求式子与两根关系联系起来，开平方求解，需要注意的是：x₁＜x₂．

解答：解：由根与系数的关系，得
x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．
由

1

x1

-

1

x2

=

x2-x1

x1•x2

，分别将两边平方，得
（

1

x1

-

1

x2

）²=

(x2-x1)2

(x1•x2)2

=

(x1+x2)2-4x1x2

(x1x2)2

=

( b a )2-4 c a

c2 a2

=

b2-4ac

c2

．
∵x₁＜x₂，
∴

1

x1

-

1

x2

＞0．
则

1

x1

-

1

x2

=

b2-4ac

c

．故选B

点评：将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．