题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线
与x轴交于点A，与y轴交点C，抛物线
过A，C两点，与x轴交于另一点B．
（1）求抛物线的解析式．
（2）在直线AC上方的抛物线上有一动点E，连接BE，与直线AC相交于点F，当
时，求
的值．
（3）点N是抛物线对称轴上一点，在（2）的条件下，若点E位于对称轴左侧，在抛物线上是否存在一点M，使以M，N，E，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
；（2）
的值为
或
；（3）存在，M的坐标为
或
或
．
【解析】
（1）先求出A、C两点坐标，再用待定系数法求解；
（2）如图，过点E作
轴于点H，过点F作
轴于点G，则易得△BFG∽△BEH，设点E的横坐标为t，则
，利用相似三角形的性质可求出点F的坐标，再根据EH与FG的关系列出关于t的方程，解方程即可求出t的值，然后在Rt△EBH中即可求出的值；
（3）①当EB为平行四边形的边时，分两种情况：点M在对称轴右侧时，BN为对角线与点M在对称轴左侧时，BM为对角线，利用平移的性质即可求出结果；②当EB为平行四边形的对角线时，利用平行四边形对角线的性质和中点坐标公式求解即可.
解：（1）在
中，当
时
，当
时
，
∴
、
，
∵抛物线
的图象经过A、C两点，
∴
，
解得
，
∴抛物线的解析式为；
（2）令
，解得
，
，∴
，
设点E的横坐标为t，则，
如图，过点E作轴于点H，过点F作轴于点G，则
，∴△BFG∽△BEH，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴点F的横坐标为
，
∴
，
∴
，
∴
，
解得
，
，
当时，
，
当时，
，
∴
，
，
当点E的坐标为
时，在
中，
，
，
∴
，
∴
；
同理，当点E的坐标为
时，
，
∴的值为或；
（3）∵点N在对称轴上，∴
，
∵点E位于对称轴左侧，∴
.
①当EB为平行四边形的边时，分两种情况：
（Ⅰ）点M在对称轴右侧时，BN为对角线，
∵，
，
，，
∴
，当
时，
，
∴
；
（Ⅱ）点M在对称轴左侧时，BM为对角线，
∵，，
，，
∴
，
当
时，
，
∴
；
②当EB为平行四边形的对角线时，
∵，，，
∴
，
∴
，
当时，，
∴
；
综上所述，M的坐标为或或．
名校课堂系列答案【题目】某商场计划销售某种产品，现邀请生产该产品的甲、乙两个厂家进场试销10天．两个厂家提供的返利方案如下：甲厂家每天固定返利70元，且每卖出一件产品厂家再返利2元；乙厂家无固定返利，卖出40件以内（含40件）的产品，每件产品厂家返利4元，超出40件的部分每件返利6元．两个厂家销售情况如下表：
甲厂家销量（件） | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 |
天数 | 2 | 4 | 2 | 1 | 1 |
乙厂家销量（件） | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 |
天数 | 1 | 2 | 2 | 4 | 1 |
（1）现从乙厂家试销的10天中随机抽取1天，求这1天的返利不超过160元的概率；
（2）商场拟甲、乙两个厂家中选择一个长期销售，如果仅从日返利额的角度考虑，请利用所学的统计学知识为商场作出选择，并说明理由．
