Question

如图，在△ABC中，∠BAD=∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，AF=10cm，AC=14cm，动点E以2cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为．
（1）求证：在运动过程中，不管取何值，都有S_△AED=2S_△DGC．
（2）当取何值时，△DFE与△DMG全等．

Answer 1

分析：（1）由角平分线的性质可知DF=DM，所以△AED和△DEG的面积转化为底AE和CG的比值，根据路程=速度×时间求出AE和CG的长度即可证明在运动过程中，不管取何值，都有S_△AED=2S_△DGC．
（2）若△DFE与△DMG全等，则EF=MG，利用已知条件求出EF和MG的长度，建立方程解方程即可求出运动的时间．

解答：（1）证明：∵∠BAD=∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，
∴DF=DM，
∵S_△AED=

1

2

AE•DF，S_△DGC=

1

2

CG•DM，
∴

S△ADE

S△DGC

=

AE

CG

，
∵点E以2cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动，
∴

AE

CG

=2，
即

S△ADE

S△DGC

=2，
∴在运动过程中，不管取何值，都有S_△AED=2S_△DGC．
（2）解：设时间为t时，△DFE与△DMG全等，则EF=MG，
①当M在线段CG的延长线上时，
∵点E以2cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动，
∴EF=AF-AE=10-2t，MG=AC-CG-AM=4-t，
即10-2t=4-t，
解得：t=6，
当t=6时，MG=-2，所以舍去；
②当M在线段CG上时，
∵点E以2cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动，
∴EF=AF-AE=10-2t，MG=AM-（AC-CG）=t-4，
即10-2t=t-4，
解得：t=

14

3

，
综上所述当t=

14

3

时，△DFE与△DMG全等．

点评：本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、三角形的面积公式以及动点问题，解题的难点在于第二问中求运动的时间，此题容易漏解和错解．