Question

如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于C、A两点。将射线AM绕着点A顺时针旋转45°得到射线AN。点D为AM上的动点，点B为AN上的动点，点C在∠MAN的内部。
（1）求线段AC的长；
（2）当轴，且四边形ABCD为梯形时，求△BCD的面积；
（3）求△BCD周长的最小值；
（4）当△BCD的周长取得最小值，且时，△BCD的面积为_____________。（第（4）问只需填写结论，不要求书写过程）

Answer 1

解：（1）∵直线与x轴、y轴分别交于C、A两点，
∴点C的坐标为，点A的坐标为（0，2）。
∴AC＝4。
（2）如图1，当AD∥BC时，

可知∠DAB＝45°，∴∠ABO＝45°。∴OB＝OA＝2。



如图2，当AB∥DC时，可得
设射线AN交x轴于点E。
∵AD∥x轴，
∴四边形AECD为平行四边形。

综上所述，当AM∥x轴，且四边形ABCD为梯形时，

（3）如图3，作点C关于射线AM的对称点，点C关于射线AN的对称点。
由轴对称的性质，可知
连结、，
可得

连结。
∵两点之间线段最短，
∴当B、D两点与、在同一条直线上时，△BCD的周长最小，最小值为线段的长。∴△BCD的周长的最小值为。
（4）