Question

如图，在平面直角坐标系中，直线L：y=-2x-8分别与x轴、y轴相交于A、B两点，点P(0,k)是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P。

（1）连结PA，若PA=PB，试判断⊙P与X轴的位置关系，并说明理由；

（2）当K为何值时，以⊙P与直线L的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？

Answer 1

（１）由直线L的解析式可知A（-4，0），B（0，-8）

设OP=X，则BP=8-X，AP=8-X

由勾股定理得  X² + 4² =（8-X）²

   解得    X = 3     -

∴ OP = R = 3    

∴⊙P与X轴相切      

（2）分两种情况讨论：

①当圆心P在线段OB上

由⊿AOB ∽ ⊿PEB得      

  把AO=4，AB=4，PE=代入比例式得                  PB=             --------------------3分

∴  OP =  8－    ∴  K = －8   -----2分

②当圆心P在线段OB的延长线上时：

由⊿AOB ∽ ⊿PEB同样可得   PB=

∴  OP =  8 ＋     ∴  K = －－8  （2分）

  ∴当K=－8或－－8时，以⊙P与直线L的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形。     --------------1分