Question

【题目】在平面直角坐标系中，有两点、，若满足：当时，，；当时，，，则称点为点的“友好点”.

（1）点的“友好点”的坐标是_______.

（2）点是直线上的一点，点是点的“友好点”.

①当点与点重合时，求点的坐标.

②当点与点不重合时，求线段的长度随着的增大而减小时，的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①点的坐标是或；②当或时，的长度随着的增大而减小；

【解析】

（1）直接利用“友好点”定义进行解题即可；（2）先利用 “友好点”定义求出B点坐标，A点又在直线上，得到；①当点和点重合，得．解出即可，②当点A和点B不重合， 且．所以对a分情况讨论，1°、当或时，，所以当a≤时，的长度随着的增大而减小，即取．2°当时，，当时，的长度随着的增大而减小，即取． 综上，当或时，的长度随着的增大而减小．

（1）点，4＞1，根据“友好点”定义，得到点的“友好点”的坐标是

（2）点是直线上的一点，

．

，根据友好点的定义，点的坐标为，

①当点和点重合，．

解得或．

当时，；当时，，

点的坐标是或．

②当点A和点B不重合，且．

当或时，．

当a≤时，的长度随着的增大而减小，

取．

当时， ．

当时，的长度随着的增大而减小，

取．

综上，当或时，的长度随着的增大而减小．