Question

如图，AB是半圆O的直径，点M是半径OA的中点，点P在线段AM上运动（不与点M重合），点Q在半圆O上运动，且总保持PQ=PO，过点Q作⊙O的切线交BA的延长线于点C．
（1）当∠QPA=60°时，请你对△QCP的形状做出猜想，并给予证明；
（2）当QP⊥AB时，△QCP的形状是______三角形；
（3）由（1）、（2）得出的结论，请进一步猜想当点P在线段AM上运动到任何位置时，△QCP一定是______三角形．

Answer 1

解：（1）△QCP是等边三角形，
证明：连接OQ，则CQ⊥OQ，
∵PQ=PO，∠QPC=60°，
∴∠POQ=∠PQO=30°，
∴∠C=90°-30°=60°，
∴∠CQP=∠C=∠QPC=60°，
∴△QPC是等边三角形．

（2）连接OQ，
∵∠PQO=∠POQ=45°，
∴∠CQP和∠C都是45°角的余角，
∴∠CQP=∠C=45°，△QCP是等腰直角三角形．

（3）∵PQ=PO，
∴∠PQO=∠POQ，
∴∠CQP=∠PCQ，
∴△CPQ是等腰三角形．
分析：（1）可根据切线的性质来求解，连接OQ，那么OQ⊥CQ，可根据∠CPQ的度数得出∠PQO=∠POQ，那么∠CQP和∠C都是30°角的余角，因此它们的度数都是60°，由此可得出三角形CPQ是个等边三角形．
（2）方法同（1），连接OQ后，∠PQO=∠POQ=45°，那么∠CQP和∠C都是45°角的余角，因此它们的度数都是45°，由此可得出三角形QCP是等腰直角三角形．
（3）不管P在AM上的任何位置，证法都同（1），由于PQ=PO，那么∠PQO=∠POQ，那么根据等角的余角相等，那么∠CQP=∠PCQ，因此三角形CPQ是等腰三角形．
点评：本题主要考查了切线的性质，等腰三角形，等边三角形的判定等知识点，根据切线的性质来求解是本题的基本思路．