Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，点，点为中点，点与点关于轴对称．

（1）点的坐标为___________；

（2）连结，求的正切值；

（3）抛物线的对称轴为直线，在抛物线上是否存在点（、不重合），使与全等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）的坐标为或或

【解析】

（1）根据题意即可求出点C的坐标，然后根据关于y轴对称的两点坐标关系即可求出结论；

（2）过点作于，先求出OB和CD，再利用勾股定理求出BC和BD，然后根据三角形面积的两种求法即可求出DM，再利用勾股定理求出BM，即可求出结论．

（3）根据对称轴公式即可求出二次函数的解析式，然后根据全等三角形的对应情况分类讨论，分别画出对应的图形，然后根据全等三角形的性质、锐角三角函数、平行四边形的判定及性质即可求出结论．

解：（1）∵点，点为中点，

∴点C的坐标为（-1,0）

∵点与点关于轴对称．

∴点D的坐标为．

故答案为：．

（2）如图，过点作于，

由题易得，，，，

又，则，

在中，由勾股定理得，

∴．

（3）由题可得，

解得，

则抛物线所对应的函数解析式为，

①如图，当时，因为点不与点重合，则点只能在的右侧，过点作轴于，

由全等的性质可知，，

∵，且，

∴，

又，

∴．

又，，

∴，

∴，，

∴，此时点在抛物线上，且符合题意；

②如图，当，且点在的右侧时，

易得四边形是平行四边形，则，

此时点在抛物线上，且符合题意；

③如图，当，且点在的左侧时，记此时的点为，

则与①中的组成平行四边形，

易得，此时点在抛物线上，且符合题意；

综上所述，点的坐标为或或．