Question

如图，以△ABC的三边为边，在BC的同侧作三个等边△ABD、△BEC、△ACF．

（1）判断四边形ADEF的形状，并证明你的结论；

（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？是矩形？

 

Answer 1

【答案】

（1）由题意易得△BDE≌△BAC，则可得DE=AC=AF，同理可证EF=AB=AD，即可证得结论；（2）AB=AC时为菱形，∠BAC=150º时为矩形.

【解析】

试题分析：（1）由题意易得△BDE≌△BAC，则可得DE=AC=AF，同理可证EF=AB=AD，即可证得结论；

（2）AB=AC时，可得ADEF的邻边相等，所以ADEF为菱形，AEDF要是矩形，则∠DEF=90°，由∠DEF=∠BED+∠BEC+∠CEF，可推出∠BAC=150°时为矩形．

解：（1）四边形ADEF为平行四边形，

∵△ABD和△EBC都是等边三角形，

∴BD=AB，BE=BC；

∵∠DBA=∠EBC=60°，

∴∠DBA-∠EBA=∠EBC-∠EBA

∴∠DBE=∠ABC；

∴△BDE≌△BAC

∴DE=AC=AF

同理可证：△ECF≌△BCA，

∴EF=AB=AD

∴ADEF为平行四边形；

（2）AB=AC时，?ADEF为菱形，当∠BAC=150°时?ADEF为矩形．

理由是：∵AB=AC，

∴AD=AF．

∴?ADEF是菱形．

∴∠DEF=90°

=∠BED+∠BEC+∠CEF

=∠BCA+60°+∠CBA

=180-∠BAC+60°

=240°-∠BAC，

∴∠BAC=150°，

∵∠DAB=∠FAC=60°，

∴∠DAF=90°，

∴平行四边形ADEF是矩形．

考点：等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形、矩形、菱形的判定

点评：特殊四边形的判定和性质是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握.