题目内容

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC= $数学公式$ ．点D在边AC上（不与A，C重合），连接BD，F为BD中点．
（1）若过点D作DE⊥AB于E，连接CF、EF、CE，如图1．设CF=kEF，则k=______；
（2）若将图1中的△ADE绕点A旋转，使得D、E、B三点共线，点F仍为BD中点，如图2所示．求证：BE-DE=2CF；
（3）若BC=6，点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕点A旋转，点F始终为BD中点，求线段CF长度的最大值．

解：（1）∵F为BD中点，DE⊥AB，
∴CF= $\text{[math]}$ BD，EF= $\text{[math]}$ BD，
∴CF=EF，
∴k=1；
故答案为1．

（2）如图，过点C作CE的垂线交BD于点G，设BD与AC的交点为Q．

由题意，tan∠BAC= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．
∵D、E、B三点共线，
∴AE⊥DB．
∵∠BQC=∠AQD，∠ACB=90°，
∴∠QBC=∠EAQ．
∵∠ECA+∠ACG=90°，∠BCG+∠ACG=90°，
∴∠ECA=∠BCG．
∴△BCG∽△ACE．
∴ $\text{[math]}$
∴GB=DE．
∵F是BD中点，
∴F是EG中点．

在Rt△ECG中， $\text{[math]}$ ，
∴BE-DE=EG=2CF；

（3）情况1：如图，当AD= $\text{[math]}$ 时，取AB的中点M，连接MF和CM，

∵∠ACB=90°，tan∠BAC= $\text{[math]}$ ，且BC=6，
∴AC=12，AB= $\text{[math]}$ ．
∵M为AB中点，

∴CM= $\text{[math]}$ ，
∵AD= $\text{[math]}$ ，
∴AD=4．∵M为AB中点，F为BD中点，
∴FM= $\text{[math]}$ =2．
如图：∴当且仅当M、F、C三点共线且M在线段CF上时CF最大，
此时CF=CM+FM= $\text{[math]}$ ．
情况2：如图，当AD= $\text{[math]}$ 时，取AB的中点M，连接MF和CM，
类似于情况1，可知CF的最大值为 $\text{[math]}$ ．

综合情况1与情况2，可知当点D在靠近点C的
三等分点时，线段CF的长度取得最大值为 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由F为BD中点，DE⊥AB，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得到CF=EF；
（2）过点C作CE的垂线交BD于点G，设BD与AC的交点为Q．由tan∠BAC= $\text{[math]}$ ，得到 $\text{[math]}$ ．证明△BCG∽△ACE，得到 $\text{[math]}$ ．得到GB=DE，得到F是EG中点．于是 $\text{[math]}$ ，即可得到BE-DE=EG=2CF；
（3）分类讨论：当AD= $\text{[math]}$ 时，取AB的中点M，连接MF和CM，tan∠BAC= $\text{[math]}$ ，且BC=6，计算出AC=12，AB= $\text{[math]}$ ．M为AB中点，则CM= $\text{[math]}$ ，FM= $\text{[math]}$ =2．当且仅当M、F、C三点共线且M在线段CF上时CF最大，此时CF=CM+FM= $\text{[math]}$ ；当AD= $\text{[math]}$ 时，取AB的中点M，连接MF和CM，类似于情况1，可知CF的最大值为 $\text{[math]}$ ．即可得到线段CF长度的最大值．
点评：本题考查了三角形相似的判定与性质．也考查了旋转的性质和三角函数的定义以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．