Question

阅读下面资料：
小明遇到这样一个问题：如图1，对面积为a的△ABC逐次进行以下操作：分别延长AB、

BC、CA至A₁、B₁、C₁，使得A₁B=AB，B₁C=BC，C₁A=CA，顺次连接A₁、B₁、C₁，

得到△A₁B₁C₁，记其面积为S₁，求S₁的值．
小明是这样思考和解决这个问题的：如图2，连接A₁C、B₁A、C₁B，因为A₁B=AB，

B₁C=BC，C₁A=CA，根据等高两三角形的面积比等于底之比，

图1 图2

所以，由此继续推理，从而解决了这个问题．

（1）请直接写出S₁= ；（用含字母a的式子表示）．
请参考小明同学思考问题的方法，解决下列问题：
（2）如图3，对面积为a的△ABC逐次进行以下操作：分别延长AB、BC、CA至A₁、

B₁、C₁，使得A₁B=2AB，B₁C=2BC，C₁A=2CA，顺次连接A₁、B₁、C₁，得到△A₁B₁C₁，记其

面积为S₂，求S₂的值．

（3）如图4，P为△ABC内一点，连接AP、BP、CP并延长分别交边BC、AC、AB于

点D、E、F，则把△ABC分成六个小三角形，其中四个小三角形面积已在图上标明，设△APE的面积为y，△BPF的面积为x，

①求△APE ，△BPF，△APF 面积之间的关系；

②求△ABC的面积．

	图3		图4

Answer 1

（1）S₁=7a；

（2）

∵A₁B=2AB，B₁C=2BC，C₁A=2CA

根据等高两三角形的面积比等于底之比，

∴S_△A1BC＝S_△B1CA=S_△C1AB＝2S_△ABC＝2a

∴S₁=19a；

（3）

①过点C作CG⊥BE于点G，
∵S_△BPC＝BP•CG＝70；S_△PCE＝PE•CG＝35，
∴

∴   即：BP=2EP

同理，

∴S_△APB=2S_△APF．

=x，S_△APE=y，
∴x+84=2y．

②∵,

  又∵x+84=2y

∴

∵S_△BPF

∴S_△ABC=315．