题目内容

如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边BC在x轴上，点E是对角线AC，BD的交点，函数y= $数学公式$ 的图象经过A，E两点，则△OAE的面积为________．

$\text{[math]}$
分析：首先过E作EF⊥x轴，设E点纵坐标为m，根据正方形的性质和函数y= $\text{[math]}$ 的图象经过A，E两点，可得到E（ $\text{[math]}$ ，m），A（ $\text{[math]}$ ，2m），再根据EF是BC的中垂线可得BF=EF，进而得到 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =m，再算出m的值，然后根据图象可得S_△OAE=S_梯形ABFE+S_△AOB-S_△EOF把相应数值代入即可算出结果．
解答：

解：过E作EF⊥x轴．
设E点纵坐标为m，
∵E点在函数y= $\text{[math]}$ 的图象上，
∴E点横坐标为 $\text{[math]}$ ，
∴E（ $\text{[math]}$ ，m），
∵点E是对角线AC，BD的交点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴AB=2m，
∵A点在函数y= $\text{[math]}$ 的图象上，
∴A点横坐标为 $\text{[math]}$ ，
∴A（ $\text{[math]}$ ，2m），
∵EF是BC的中垂线，
∴BF=EF，
∴ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =m，
解得：m= $\text{[math]}$ 或- $\text{[math]}$ ，
∵图象在第一象限，
∴m= $\text{[math]}$ ，
S_△OAE=S_梯形ABFE+S_△AOB-S_△EOF= $\text{[math]}$ ×（m+2m）×m+ $\text{[math]}$ ×3- $\text{[math]}$ ×3= $\text{[math]}$ ×3m²= $\text{[math]}$ m²= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
故答案为： $\text{[math]}$ ．
点评：此题主要考查了反比例函数的综合应用，关键是根据正方形的性质表示出A，E两点坐标，进而算出E点纵坐标，然后根据S_△OAE=S_梯形ABFE+S_△AOB-S_△EOF即可算出结果．