Question

3．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分别为AB、DC的中点，对角线AC、BD分别交MN于E、F，求证：EF=$\frac{1}{2}$（BC-AD）．

Answer 1

分析 首先连接DF，并延长交BC于点G，易证得△ADF≌△CGF（ASA），即可求得DF=GF，CG=AD，继而可得EF是△DBG的中位线，则可推知结论．

解答 证明：连接DF，并延长交BC于点G，
∵AD∥BC，
∴∠DAF=∠GCF，
在△ADF和△GCF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DAF=∠GCF}\\{AF=CF}\\{∠AFD=∠CFG}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△CGF（ASA），
∴DF=FG，CG=AD，
∴BG=BC-CG，
∵BE=DE，
∴EF=$\frac{1}{2}$BG=$\frac{1}{2}$（BC-AD），即EF=$\frac{1}{2}$（BC-AD）．

点评 此题考查了梯形的性质、全等三角形的判定与性质以及三角形的中位线的性质．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．