Question

5．已知：如图，?ABCD中，O是CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于点E．
（1）求证：△AOD≌△EOC；
（2）连接AC，DE，当∠B=45°和∠AEB=45°时，四边形ACED是正方形？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先根据O是CD的中点，可得DO=CO，再证明∠D=∠OCE，然后可利用ASA定理证明△AOD≌△EOC；
（2）当∠B=45°和∠AEB=45°时，四边形ACED是正方形；首先证明∠BAE=90°，然后证明AC是BE边上的中线，根据直角三角形的性质可得AC=CE，然后利用等腰三角形的性质证明AC⊥BE，可得结论．

解答 （1）证明：∵O是CD的中点，
∴DO=CO，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠D=∠OCE，
在△ADO和△ECO中$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠OCE}\\{DO=CO}\\{∠AOD=∠COE}\end{array}\right.$，
∴△AOD≌△EOC（ASA）；

（2）解：当∠B=45°和∠AEB=45°时，四边形ACED是正方形，
∵∠B=45°和∠AEB=45°，
∴∠BAE=90°，
∵△AOD≌△EOC，
∴AO=EO，
∵DO=CO，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴AD=CE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，
∴BC=CE，
∵∠BAE=90°，
∴AC=CE，
∴平行四边形ACED是菱形，
∵∠B=∠AEB，BC=CE，
∴AC⊥BE，
∴四边形ACED是正方形．
故答案为：45，45．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及正方形的判定，关键是掌握邻边相等的矩形是正方形．