题目内容
已知：如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交AD于E，交BC的延长线于F．求证：（1）FD2=FB•FC；
（2）AB2：AC2=BF：CF．
分析：（1）利用垂直平分线的性质得出AF=DF，进而利用外角的性质得出∠B=∠1，即可得出△ACF∽△BAF，即可得出答案；
（2）利用（1）中所求由相似三角形的性质得出即可．
（2）利用（1）中所求由相似三角形的性质得出即可．
解答：
证明：（1）连结AF，
∵AD的垂直平分线交AD于E，
∴AF=DF，
∴∠1+∠2=∠4，
∵∠B+∠3=∠4，
∠2=∠3，
∴∠B=∠1，
∵∠AFB=∠CFA，
∴△ACF∽△BAF，
∴
=
，
∴AF2=FB•FC，
即FD2=FB•FC．
（2）∵△ACF∽△BAF，
∴
=
，
=
，
即
=
．
证明：（1）连结AF，∵AD的垂直平分线交AD于E，
∴AF=DF，
∴∠1+∠2=∠4，
∵∠B+∠3=∠4，
∠2=∠3，
∴∠B=∠1，
∵∠AFB=∠CFA，
∴△ACF∽△BAF，
∴
| AF |
| BF |
| CF |
| AF |
∴AF2=FB•FC，
即FD2=FB•FC．
（2）∵△ACF∽△BAF，
∴
| AB |
| AC |
| AF |
| CF |
| AB |
| AC |
| BF |
| AF |
即
| AB2 |
| AC2 |
| BF |
| CF |
点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据已知得出∠B=∠1是解题关键．
练习册系列答案
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