Question

如图①，将两个完全相同的三角形纸片和重合放置，其中90°，30°，．

（Ⅰ）操作发现

如图②，固定△，将△绕点旋转，当点恰好落在边上时，

①= °，旋转角α= °（0＜α＜90），线段与的位置关系是 ；

②设△的面积为，△的面积为，则与的数量关系是 ；

（Ⅱ）猜想论证

当△绕点旋转到图③所示的位置时，小明猜想（Ⅰ）中与的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△和△中，边上的高，，请你证明小明的猜想；

（Ⅲ）拓展探究

如图④，60°，平分，，∥交于点．若在射线上存在点，使，请直接写出相应的的长．

Answer 1

（Ⅰ）①60     60     ∥                          …………………………3分

②；                                                                …………………………4分

（Ⅱ）证明∵△由△旋转得到，

∴△≌△．

∴90°．

∵360°，

∴180°．

又180°，

∴．

又90°，，

∴△≌△．                                        …………………………6分

∴．                                                             

又，，，

∴；                                            （Ⅲ）或．