题目内容

阅读下列材料，并解决后面的问题．
★阅读材料：
（1）等高线概念：在地图上，我们把地面上海拔高度相同的点连成的闭合曲线叫等高线．例如，如图1，把海拔高度是50米、100米、150米的点分别连接起来，就分别形成50米、100米、150米三条等高线．
（2）利用等高线地形图求坡度的步骤如下：（如图2）
步骤一：根据两点A、B所在的等高线地形图，分别读出点A、B的高度；A、B两点的铅直距离=点A、B的高度差；
步骤二：量出AB在等高线地形图上的距离为d个单位，若等高线地形图的比例尺为1：n，则A、B两点的水平距离=dn；
步骤三：AB的坡度=60°；
请按照下列求解过程完成填空，并把所得结果直接写在答题卡上．
某中学学生小明和小丁生活在山城，如图3（示意图），小明每天从家A经过B沿着公路AB、BP到学校P，小丁每天上学从家C沿着公路CP到学校P．该山城等高线地形图的比例尺为1：50000，在等高线地形图上量得AB=1.8厘米，BP=3.6厘米，CP=4.2厘米．
（1）分别求出AB、BP、CP的坡度（同一段路中间坡度的微小变化忽略不计）；
（2）若他们早晨7点同时步行从家出发，中途不停留，谁先到学校？（假设当坡度在60°到90°之间时，小明和小丁步行的平均速度均约为1.3米/秒；当坡度在60°到30°之间时，小明和小丁步行精英家教网的平均速度均约为1米/秒）
分析：（1）由于在等高线地形图上量得AB=1.8厘米，BP=3.6厘米，CP=4.2厘米，利用阅读材料和比例尺可以求出它们的实际水平距离，然后利用等高线求出斜坡的高度，最后利用坡度的定义即可求解；
（2）首先根据已知条件分别确定小明在路段AB、BP上步行的平均速度，小丁在路段CP上步行的平均速度，同时也利用勾股定理分别求出斜坡AB、BP、CP的距离，然后就可以分别求出各自的时间，最后比较大小即可解决问题．
解答：解：（1）AB的水平距离=1.8×50000=90000（厘米）=900（米），
AB的坡度=100÷900=
1
9
；
BP的水平距离=3.6×50000=180000（厘米）=1800（米），
BP的坡度=
400-200
1800
=
1
9
；
CP的水平距离=4.2×50000=210000（厘米）=2100（米），
CP的坡度=（400-100）÷2100=
1
7
①；

（2）因为
1
10
＜
1
9
＜
1
8
，所以小明在路段AB、BP上步行的平均速度均为1.3米/秒．
因为
1
8
＜
1
7
＜
1
6
，所以小丁在路段CP上步行的平均速度约为1米/秒，
斜坡AB的距离=
9002+1002
≈906（米），
斜坡BP的距离=
18002+2002
≈1811（米），
斜坡CP的距离=
21002+3002
≈2121（米），
所以小明从家到学校的时间≈
906+1811
1.3
=2090（秒）．
小丁从家到学校的时间约为2121秒．因此，小明先到学校．
点评：此题是一个跨学科的数学的题目，既利用了解直角三角形的知识，也利用了地理知识，首先应该正确利用题意，然后根据题意和三角函数的知识就可以解决问题．
练习册系列答案
相关题目
阅读下列材料，并解决后面的问题，在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，则
（1）过点A作AD⊥BC于D（如图1），
则在Rt△ABD中，AD=
 
；（限用a、b、c、∠A、∠B、∠C中的元素来表示）
在Rt△ACD中，AD=
 
；
∴
 
=
 

∴
 
=
 

同理最后可得，
 
=
 
=
 
；
（2）用尺规画△ABC的外接圆⊙O，半径为r（图2），请你另用不同的方法证明以上结论；并写出上述结论与△ABC外接圆直径的关系．
（3）应用：△ABC中，若∠A=30°，∠B=45°，b=
2
，则a=
 
，外接圆半径r=
 
．
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精英家教网阅读下列材料，并解决后面的问题．
在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c．过A作AD⊥BC于D（如图），则sinB=
AD
c
，sinC=
AD
b
，即AD=csinB，AD=bsinC，于是csinB=bsinC，
即
b
sinB
=
c
sinC
．同理有
c
sinC
=
a
sinA
，
a
sinA
=
b
sinB
．
所以
a
sinA
=
b
sinB
=
c
sinC
…（*）
即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．
（1）在锐角三角形中，若已知三个元素a、b、∠A，运用上述结论（*）和有关定理就可以求出其余三个未知元素c、∠B、∠C，请你按照下列步骤填空，完成求解过程：
第一步：由条件a、b、∠A
用关系式
 
求出
∠B；
第二步：由条件∠A、∠B
用关系式
 
求出
∠C；
第三步：由条件
 
用关系式
 
求出
c．
（2）如图，已知：∠A=60°，∠C=75°，a=6，运用上述结论（*）试求b．
阅读下列材料，并解决后面的问题．
在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c．过A作AD⊥BC于D（如图），则sinB=
AD
c
，sinC=
AD
b
，即AD=csi精英家教网nB，AD=bsinC，于是csinB=bsinC，即
b
sinB
=
c
sinC
．
同理有
c
sinC
=
a
sinA
，
a
sinA
=
b
sinB
．
所以
a
sinA
=
b
sinB
=
c
sinC
…（*）
即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．
（1）在锐角三角形中，若已知三个元素a、b、∠A，运用上述结论（*）和有关定理就可以
求出其余三个未知元素c、∠B、∠C，请你按照下列步骤填空，完成求解过程：
第一步：由条件a、b、∠A
用关系式
 
求出
∠B；
第二步：由条件∠A、∠B．
用关系式
 
求出
∠C；
第三步：由条件．
 
用关系式
 
求出
c．
（2）一货货轮在C处测得灯塔A在货轮的北偏西30°的方向上，随后货轮以28.4海里/时的速度按北偏东45°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西70°的方向上（如图），求此时货轮距灯塔A的距离AB（结果精确精英家教网到0.1．参考数据：sin40°=0.643，sin65°=0.90 6，sin70°=0.940，sin75°=0.966）．
阅读下列材料，并解决后面给出的问题
例．给定二次函数y=（x-1）2+1，当t≤x≤t+1时，求y的函数值的最小值．
解：函数y=（x-1）2+1，其对称轴方程为x=1，顶点坐标为（1，1），图象开口向上．下面分类讨论：

（1）如图1所示，若顶点横坐标在范围t≤x≤t+1左侧时，即有1＜t．此时y随x的增大而增大，当x=t时，函数取得最小值，y最小值=(t-1)2+1；
（2）如图2所示，若顶点横坐标在范围t≤x≤t+1内时，即有t≤1≤t+1，解这个不等式，即0≤t≤1．此时当x=1时，函数取得最小值，y最小值=1；
（3）如图3所示，若顶点横坐标在范围t≤x≤t+1右侧时，有t+1＜1，解不等式即得t＜0．此时Y随X的增大而减小，当x=t+1时，函数取得最小值，y最小值=t2+1
综上讨论，当1＜t时，函数取得最小值，y最小值=(t-1)2+1．
此时当0≤t≤1时，函数取得最小值，y最小值=1．
当t＜0时，函数取得最小值，y最小值=t2+1
根据上述材料，完成下列问题：
问题：求函数y=x2+2x+3在t≤x≤t+2时的最小值．
观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题
在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，过A作AD⊥BC于D（如图（1）），则sinB=
AD
c
，sinC=
AD
b
，即AD=csinB，AD=bsinC，于是csinB=bsinC，即
b
sinB
=
c
sinC
，同理有：
c
sinC
=
a
sinA
，
a
sinA
=
b
sinB
，
所以
a
sinA
=
b
sinB
=
c
sinC
．
即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素．
根据上述材料，完成下列各题．

（1）如图（2），△ABC中，∠B=45°，∠C=75°，BC=60，则∠A=
60°
60°
；AC=
20
6
20
6
；
（2）自从去年日本政府自主自导“钓鱼岛国有化”闹剧以来，我国政府灵活应对，现如今已对钓鱼岛执行常态化巡逻．某次巡逻中，如图（3），我渔政204船在C处测得A在我渔政船的北偏西30°的方向上，随后以40海里/时的速度按北偏东30°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得钓鱼岛A在的北偏西75°的方向上，求此时渔政204船距钓鱼岛A的距离AB．（结果精确到0.01，
6
≈2.449）

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