Question

如图，△ABD与△CBD是全等的正三角形，AB=2，E为AB的中点，P为BD上的动点，则PA+PE的最小值为

 

．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题,等边三角形的性质

专题：

分析：根据等边三角形的性质可知点A、C关于直线BD对称，连接DE，CE交BD于点P，则CE的长即为PA+PE的最小值，因为△ABD是等边三角形，E为AB的中点，故∠BDE=∠ADE=30°，DE⊥AB，在Rt△ADE中根据勾股定理可求出DE的长，再由△CBD是正三角形可得出∠CDB=60°，故∠CDE=∠BDE+∠CDB=90°，再根据勾股定理求出CE的长即可．

解答：解：∵△ABD与△CBD是全等的正三角形，
∴点A、C关于直线BD对称，连接DE，CE交BD于点P，则CE的长即为PA+PE的最小值，
∵△ABD是等边三角形，E为AB的中点，
∴∠BDE=∠ADE=30°，DE⊥AB，
在Rt△ADE中，
DE=

AD2-AE2

=

22-12

=

3

，
∵△CBD是正三角形，
∴∠CDB=60°，
∴∠CDE=∠BDE+∠CDB=90°，
∴△CDE是直角三角形，
∴CE=

CD2+DE2

=

22+( 3 )2

=

7

，即PA+PE的最小值为

7

．
故答案为：

7

．

点评：本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等边三角形的性质及两点之间线段最短是解答此题的关键．