Question

在等腰△ABC中，三边长分别为a、b、c，其中b=5．若关于x的方程x²+ax-1+a=0有两相等实根，求△ABC的周长．

Answer 1

考点：一元二次方程的应用

专题：几何图形问题

分析：先由关于x的一元二次方程x²+ax+-1+a=0有两个相等的实数根，得出根的判别式△=0，据此求出a的值；再由三角形三边关系定理确定等腰三角形的三边长，即可求得其周长．

解答：解：∵关于x的方程x²+ax+-1+a=0有两个相等的实数根，
∴△=a²-4（a-1）=0，即a²-4a+4=0；
解得a=2，
①当a为底，b为腰时，则2+5＞5，能构成三角形，此时△ABC的周长为：5+5+2=12．
②当b为底，a为腰时，则2+2＜5，不能够构成三角形；此种情况不成立；
故△ABC的周长为12．

点评：此题考查了一元二次方程根的情况与根的判别式（△=b²-4ac）之间的关系、根与系数的关系、等腰三角形的性质及三角形三边关系定理，综合性较强，难度中等．注意在求三角形的周长时，不能盲目的将三边相加，而应在满足三角形三边关系定理的条件下分类讨论，以免造成多解、错解．