Question

如图，在锐角△ABC中，BC=9，AH⊥BC于点H，且AH=6，点D为AB边上的任意一点，过点D作DE∥BC，交AC于点E。设△ADE的高AF为x（0<x<6），以DE为折线将△ADE翻折，所得的△A′DE与梯形DBCE重叠部分的面积记为y，（点A关于DE的对称点A′落在AH所在的直线上）。

（1）分别求出当0<x≤3与3<x<6时，y与x的函数关系式；
（2）当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？

Answer 1

解：（1）①当0＜x≤3时，由折叠得到的△A′ED落在△ABC内部如图1，重叠部分为△A′ED ∵DE∥BC ∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C ∴△ADE∽△ABC ∴， ∴， 即DE=x 又∵FA′=FA=x ∴y=DE·A′F=×x·x ∴y=x2（0＜x≤3） ②当3＜x＜6时，由折叠得到的△A′ED有一部分落在△ABC外，如图2，重叠部为梯形EDPQ ∵FH=6-AF=6-x A′H=A′F-FH=x-（6-x）=2x-6 又∵DE∥PQ ∴△A′PQ∽△A′DE ∴ ∴， PQ=3（x-3） ∴y=（DE+PQ）×FH=[x+3（x-3）]×（6-x） ∴y=-x2+18x-27（3＜x＜6）； （2）当0＜x≤3时，y的最大值：y1=x2=×32=； 当3＜x＜6时，由y=-x2+18x-27=-（x-4）2+9 可知： 当x=4时，y的最大值：y2=9； ∵y1＜y2， ∴当x=4时，y有最大值：y最大=9。